MAFY 2011 fråga 22

Hej! Har fastnat på denna:

Jag har kommit så här långt:

$x^{2} + \frac{a x}{3} - (\frac{a^{2} - 1}{3}) = 0 x = - \frac{a}{6} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{36} + 12 (\frac{a^{2} - 1}{36})} x = - \frac{a}{6} \pm \sqrt{\frac{13 a^{2} - 12}{36}} x = \frac{- a \pm \sqrt{13 a^{2} - 12}}{6}$

För att få dubbla positiva lösningar gäller alltså att:

$a < 0 - a > \sqrt{13 a^{2} - 12}$

Jag har försökt att lösa olikheten flera gånger men kommer alltid fram till fel svar.

Ojdå, fick inte med slutet av frågan. Ekvationen ska alltså enbart ha reella positiva lösningar.

Eftersom vi har en andragradare med positiv x²term ser funktionen ut som en glad mun.

För att bägge nollställena ska vara positiva kan det ena som minst vara nästan 0. Då provar vi med att sätta in x = 0

då får vi -(a²-1) = 0

Alltså a = +- 1

Med a = 1 får vi ekvationen 3x²+x = 0, x = 0 eller x = -1/3. Nej, Bägge rötterna är ej positiva

med a = -1 får vi ekv 3x²- x = 0, x = 0, eller x = 1/3. Javisst bägge rötterna är >= 0

alltså a < -1 .

Ture skrev:
Eftersom vi har en andragradare med positiv x²term ser funktionen ut som en glad mun.

För att bägge nollställena ska vara positiva kan det ena som minst vara nästan 0. Då provar vi med att sätta in x = 0

då får vi -(a²-1) = 0

Alltså a = +- 1

Med a = 1 får vi ekvationen 3x²+x = 0, x = 0 eller x = -1/3. Nej, Bägge rötterna är ej positiva

med a = -1 får vi ekv 3x²- x = 0, x = 0, eller x = 1/3. Javisst bägge rötterna är >= 0

alltså a < -1 .

Den är lite klurigare än så.

Berätta mer...

Efter att ha smygtittat i facit så förstår jag att vi ska ha en dubbelrot där vårt a har sitt största tillåtna värde.

dvs diskriminanten ska vara = 0.

Däremot förstår jag inte hur vi kan inse det. Kanske nån kunnigare vill förklara?

Det förklarar nog egentligen inte dubbelroten, men för att lösningarna ska vara reella måste diskriminanten vara icke-negativ. Det ställer krav på a:

$\frac{13 a^{2} - 12}{36} \geq 0 13 a^{2} - 12 \geq 0 a^{2} \geq \frac{12}{13} - \sqrt{\frac{12}{13}} > a eller a > \sqrt{\frac{12}{13}}$

a måste alltså ligga inom detta intervall för att det överhuvudtaget ska finnas några lösningar. Dessutom vet vi att symmetrilinjen, som ges av $x_{symmetri} = - \frac{a}{6}$ , måste ligga till höger om y-axeln, eftersom minst en rot annars är positiv. Det innebär att a måste vara negativt. Vi kan därför begränsa vårt intervall till $- \sqrt{\frac{12}{13}} > a$ . Eftersom vi letar efter det största reella talet, kan vi sluta oss till att detta tal är $a = - \sqrt{\frac{12}{13}}$ .

För säkerhets skull bör vi testa lösningen, och då får vi att vi får en positiv, reell dubbelrot. :)

Tack för hjälpen allihop, nu lyckades jag lösa den! :)

Svara

Visa senaste svar