MaFy 2010 uppgift 26

VL blir negativt för x heltal < 1. HL är alltid positivt. 

VL är avtagande för x > 1, medan HL är växande.

Det finns då inte så många heltal x som kan lösa olikheten. 

Dr. G skrev:

VL blir negativt för x heltal < 1. HL är alltid positivt. 

VL är avtagande för x > 1, medan HL är växande.

Det finns då inte så många heltal x som kan lösa olikheten. 

pratar du om min teckentabell?  För jag ser bara att alla heltal -2 och 4 ger att VL <0. Hm jag ser att när jag flyttade 8an till HL ska det stå 0<= hela uttrycket. Men jag får ändå att mellan -2 och 4 är uttrycket i HL negativt. Positivt är det endast för t<=-2 samt t>=4.

Nej, jag pratar inte direkt om din teckentabell. 

x heltal < 1 gör VL negativt, eller hur?

3⁰ < 2

3^-1 < 2

etc.

Med negativt VL kan olikheten inte ha lösning. 

Man kan då multiplicera leden med det positiva talet (3^x - 2), utan att behöva fundera på om olikheten behöver vändas. 

Det går dock även med insättning, eftersom HL snabbt blir > 8 och VL blir < 8 för nästan alla positiva x. 

Dr. G skrev:

Nej, jag pratar inte direkt om din teckentabell. 

x heltal < 1 gör VL negativt, eller hur?

3⁰ < 2

3^-1 < 2

etc.

Med negativt VL kan olikheten inte ha lösning. 

Man kan då multiplicera leden med det positiva talet (3^x - 2), utan att behöva fundera på om olikheten behöver vändas. 

Det går dock även med insättning, eftersom HL snabbt blir > 8 och VL blir < 8 för nästan alla positiva x. 

Nu gör du på ett helt annat sätt här som jag ej närmade mig till. Kan vi snälla utgå från hur jag gjorde istället och försöka resonera därifrån eller kolla om något gick snett där? Jag vet ej varför vi väljer att ej titta på min metod. 

Kan vi snälla utgå från hur jag gjorde istället och försöka resonera därifrån eller kolla om något gick snett där? Jag vet ej varför vi väljer att ej titta på min metod.

Då behöver du förklara mycket tydligare hur du har tänkt. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är dåliga på tankeläsning!

Smaragdalena skrev:

Kan vi snälla utgå från hur jag gjorde istället och försöka resonera därifrån eller kolla om något gick snett där? Jag vet ej varför vi väljer att ej titta på min metod.

Då behöver du förklara mycket tydligare hur du har tänkt. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är dåliga på tankeläsning!

Okej.  Då får du berätta lite mer om vad jag ska förklara tydligare på hur jag tänkt. Det mesta jag förklarat är i #1.

Ok, du får att t <= 4 och t >= -2.

Samtidigt har du i substitutionen att t = 3^x > 0, så 0 < t <= 4. 

Vilka heltalsvärden på x ger dig t i det intervallet?

Tillägg: 2 apr 2024 15:02

Fast det blir lite knas. För (3^x - 2) < 0 så måste olikheten vändas (och då saknas lösning).

Det borde då bli 

2 < t <= 4

Dr. G skrev:

Ok, du får att t <= 4 och t >= -2.

Samtidigt har du i substitutionen att t = 3^x > 0, så 0 < t <= 4. 

Vilka heltalsvärden på x ger dig t i det intervallet?

Oj så t får ej vara negativt menar du när du säger att t>0? Men t=-2 är ej ok eller vad är felet? Hur vet du att 3^x-2 <0? 

Varför borde det bli -2<t<=4? ?? Jag får ej ens t=2 egentligen utan bara t=-2 enligt pq-formeln.

t = 3^x

Om (3^x - 2) = (t - 2) < 0

så måste du vända på olikheten om du multiplicerar leden med det negativa talet (t - 2), d.v.s

8 <= t(t - 2)

Är du med på det?

Om (t - 2) > 0 blir istället olikheten att lösa 

8 >= t(t - 2)

Man måste skilja på de två fallen och lösa olikheten i varje fall för sig. 

Olikheten du har löst gäller alltså bara för t > 2. Därför satte jag 2 < t som den undre gränsen. 

Dr. G skrev:

t = 3^x

Om (3^x - 2) = (t - 2) < 0

så måste du vända på olikheten om du multiplicerar leden med det negativa talet (t - 2), d.v.s

8 <= t(t - 2)

Är du med på det?

 

Om (t - 2) > 0 blir istället olikheten att lösa 

8 >= t(t - 2)

Man måste skilja på de två fallen och lösa olikheten i varje fall för sig. 

 

Olikheten du har löst gäller alltså bara för t > 2. Därför satte jag 2 < t som den undre gränsen. 

Så hur ska jag lösa olikheten om jag har 

8<=t(t-2)

8<=t^2-2t

0<=t^2-2t-8.

0<=(t+2)(t-4)

Vad är felet med att lösa så?

Inget fel, men får du några giltiga lösningar?

Glöm inte att du här har förutsatt att t < 2.

Dr. G skrev:

Inget fel, men får du några giltiga lösningar?

Glöm inte att du här har förutsatt att t < 2.

Ja jag har att lösningar finns för t<=-2 samt t>=4. Inga andra lösningar emellan uppfyller olikheten. Jag förstår dock ej hur man ska lösa denna uppgift för jag upplever att jag gjorde på rätt sätt.

Faktorerna (t + 2) och (t - 4) har lika tecken för 

t < -2 

eller

t > 4.

Tänk på att vi här har antagit att t < 2, vilket bara möjliggör t < -2.

Dock saknar t < -2 reella lösningar i x, eftersom t = 3^x > 0 för reella x. 

Dr. G skrev:

Faktorerna (t + 2) och (t - 4) har lika tecken för 

t < -2 

eller

t > 4.

Tänk på att vi här har antagit att t < 2, vilket bara möjliggör t < -2.

Dock saknar t < -2 reella lösningar i x, eftersom t = 3^x > 0 för reella x. 

Jag förstår ej varför du ej tar med <= när du säger t<-2 och t>4 . Jag fattar ej vad du menar med antagit t<2? Vad menar du med att t<-2 saknar reella lösningar? 

Dr. G skrev:

Faktorerna (t + 2) och (t - 4) har lika tecken för 

t < -2 

eller

t > 4.

Tänk på att vi här har antagit att t < 2, vilket bara möjliggör t < -2.

Dock saknar t < -2 reella lösningar i x, eftersom t = 3^x > 0 för reella x. 

Vad menar du med lika tecken? Menar du att produkten blir positivt dvs större än eller lika med 0?

destiny99 skrev:

Jag förstår ej varför du ej tar med <= när du säger t<-2 och t>4 .

Ja, ursäkta, det skulle inte vara strikt olikhet där. 

t <= -2, t >= 4.

Jag fattar ej vad du menar med antagit t<2?

Om t < 2 så blir olikheten

8 <= t(t - 2)

Om t > 2 så blir olikheten 

8 >= t(t - 2)

olikheten måste vändas när leden multipliceras med ett negativt tal. 

exempel:

1 < 3

men 

-1 > -3

Vad menar du med att t<-2 saknar reella lösningar? 

Vi söker lösningar i x. Dessa ska vara reella och här t.o.m heltal. Det finns inget reelt x som ger t < -2.

Dr. G skrev:

destiny99 skrev:

Jag förstår ej varför du ej tar med <= när du säger t<-2 och t>4 .

Ja, ursäkta, det skulle inte vara strikt olikhet där. 

t <= -2, t >= 4.

Jag fattar ej vad du menar med antagit t<2?

Om t < 2 så blir olikheten

8 <= t(t - 2)

Om t > 2 så blir olikheten 

8 >= t(t - 2)

olikheten måste vändas när leden multipliceras med ett negativt tal. 

exempel:

1 < 3

men 

-1 > -3

Vad menar du med att t<-2 saknar reella lösningar? 

Vi söker lösningar i x. Dessa ska vara reella och här t.o.m heltal. Det finns inget reelt x som ger t < -2.

Okej då förstår jag. Men jag vet fortfarande ej hur vi ska hitta svaret här. t<=-2 gör att lösningar saknas,samma sak med t>=4. Även mellan -2 och 4 saknas det också. Det visade jag i min teckentabell.  Rätt svar verkar vara 1. Men när jag stoppar in t=1, t=0 i (t+2)(t-4)>=0 så blir det negativt.. 

Vad säger din teckentabell om 3^x = 3?

Laguna skrev:

Vad säger din teckentabell om 3^x = 3?

Att x=1 men grejen är den att jag tog t=3 och då stoppade jag in den i uttrycket (t-4)(t+2)>=0. I det uttrycket kan vi se att produkten blir negativt. Men man kanske ska ej göra en teckentabell nu när jag tänker efter. Vi har ju olika t mellan -2 och 4. t=-2 och t=4 ger inga heltallösning till olikheten men vi kan se att t=3 och t=1 

Är t = 1 (x = 0) en lösning?

Dr. G skrev:

Är t = 1 (x = 0) en lösning?

Nu är det så att vi ska adeera ihop summan av heltalslösning men ja det är lösning.

Är $\frac{8}{3^0-2} \ge 3^0$?

Laguna skrev:

Är $\frac{8}{3^0-2} \ge 3^0$?

Men svaret i facit är x=1. Det sker bara om t=3. Varför funkar ej t=1 ?

Tillägg: 2 apr 2024 20:32

Juste vad dum jag är. endast t=3 funkar för då får vi x=1. t=0 funkar ej och ej heller t=1 eftersom vi får typ ln(1)=xln(3)=> x=ln(1)/ln(3)=0