MAFY 2010 20

Här är det nog lättare att köra uteslutningsmetoden. Vi kan rita upp en 3-4-5-triangel. Den är rätvinklig, och vi får att $a=5$, $b=3$, och $c=4$. Dessutom vet vi att $h_c=b=3$. Vi kan nu testa de olika formlerna genom att sätta in dessa värden, och se vilken/vilka formler som stämmer. :) 

Mycket mer effektivt, tack! :)

Varsågod! :)

Jag hade börjat med att göra en snabb dimensionsanalys. Vi vet att det vi ska få ut är en strecka, och vi ser att alternativ a-c har dimension $\frac{\sqrt{s^4}}{s}=s$, medan d har dimension $\frac{\sqrt{s^3}}{s}\neq s$, så alternativ d kan strykas direkt. Men Smutstvätts koll är ju så snabb att i det här fallet gör det inget att testa även alternativ d.

Smutstvätt skrev:

Här är det nog lättare att köra uteslutningsmetoden. Vi kan rita upp en 3-4-5-triangel. Den är rätvinklig, och vi får att $a=5$, $b=3$, och $c=4$. Dessutom vet vi att $h_c=b=3$. Vi kan nu testa de olika formlerna genom att sätta in dessa värden, och se vilken/vilka formler som stämmer. :) 

Är på samma uppgift.  Tänkte göra likadant men märker nu att det blir mycket att räkna när man följer prioritering reglerna

Ja, det blir en del beräkningar. haraldfreijs metod är bra för att snabbt utesluta alternativ (d), men övriga behöver en nog räkna på. Det kan hjälpa att använda en liksidig triangel. Då kan vi snabbt räkna ut att $h_c=\frac{\sqrt{3}}{2}$, och $a=b=c=1$.

(a): 

$$\begin{gathered} h_c\stackrel{?}{=}\frac{\sqrt{(2+2-1)\left(2-2+1\right)\left(2+2-1\right)\left(1+1+1\right)}}{2}= \\ \frac{\sqrt{3·1·3·3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$ 

(a) stämmer inte. 

För (b): 

$h_c=\frac{\sqrt{1·1·1·\left(1+1+1\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(b) kan stämma. 

För (c): 

$$\begin{gathered} h_c=\frac{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(1+1-1\right)\left(1-1+1\right)\left(1+1-1\right)}}{2}= \\ =\frac{\sqrt{3·1·1·1}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

(c) kan vara rätt svar. 

Om vi nu provar med en 3-4-5-triangel får vi fram att (b) inte stämmer, och svaret måste då vara (c). :)

Smutstvätt skrev:

Ja, det blir en del beräkningar. haraldfreijs metod är bra för att snabbt utesluta alternativ (d), men övriga behöver en nog räkna på. Det kan hjälpa att använda en liksidig triangel. Då kan vi snabbt räkna ut att $h_c=\frac{\sqrt{3}}{2}$, och $a=b=c=1$.

(a): 

$$\begin{gathered} h_c\stackrel{?}{=}\frac{\sqrt{(2+2-1)\left(2-2+1\right)\left(2+2-1\right)\left(1+1+1\right)}}{2}= \\ \frac{\sqrt{3·1·3·3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$ 

(a) stämmer inte. 

För (b): 

$h_c=\frac{\sqrt{1·1·1·\left(1+1+1\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(b) kan stämma. 

 

För (c): 

$$\begin{gathered} h_c=\frac{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(1+1-1\right)\left(1-1+1\right)\left(1+1-1\right)}}{2}= \\ =\frac{\sqrt{3·1·1·1}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

(c) kan vara rätt svar. 

Om vi nu provar med en 3-4-5-triangel får vi fram att (b) inte stämmer, och svaret måste då vara (c). :)

Kanske låter som en dum fråga men om vi ritar en liksidig triangel med sidorna a=5 b=3 och c=4. Så blir hc ej tre va? Jag tolkar din text som bilden nedan.

En liksidig triangel med sidorna 3, 4 och 5 finns inte, men en rätvinklig triangel med dessa sidor finns. :) I en sådan triangel är $h_c$ samma som sidan b. :)

Jag tycker du kan fortsätta på den lösning som du började med.

Då hade du fått att

4c²h² = 4c²b² - (b² + c² - a²)² = -(a⁴ + b⁴ + c⁴) + någonting.

Där ”någonting” (polynom i a, b och c) är ett uttryck som inte innehåller något med a⁴, b⁴, c⁴. 

Du kan jämföra detta med de givna formlerna. Tex b) 

4c²h² = abc(a+b+c). Här finns tex inget sätt att få ett polynom med term -a⁴. Så denna formel kan inte vara rätt.

Vi tittar på c)

4c²h² = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) = (beräkna de termer som innehåller a⁴, b⁴ och c⁴ när parenteserna multipliceras ihop) = -a⁴ - b⁴ - c⁴ + någonting.

Så denna formel c) är den enda som är konsistent med vad vi kom fram till via den geometriska betraktelsen som vi började med. Dvs om något uttryck är rätt så borde det vara c).

Smutstvätt skrev:

En liksidig triangel med sidorna 3, 4 och 5 finns inte, men en rätvinklig triangel med dessa sidor finns. :) I en sådan triangel är $h_c$ samma som sidan b. :)

Yes då blev det mycket klarare för mig. Då funkar liksidig triangel med a=b=c=1 och hc=sqrt(3)/2.Tack så mycket!