Mafy 2009 uppgift 7 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Det snabbaste sättet är att betrakta grafen till funktionen. Den skär y-axeln vid y=7. För små p (absolutbelopp) finns inga reella rötter, men om vi förutsätter att vi har 2 reella rötter (p har tillräckligt stort belopp) gäller följande. Om p>0 är båda rötterna negativa, om p<0 är båda rötterna positiva.

Ett annat, kanske tydligare sätt, är att ställa upp PQ-formeln $x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - 7} = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 28}}{2}$

Givet att båda rötterna är reella, kan vi inte avgöra huruvida rötterna är positiva eller negativa då det beror på värdet av p. T.ex. kommer p=10 ge minst 1 negativ rot och p=-10 ge minst en positiv rot (Titta på första termen.) Vidare kommer rötterna aldrig kunna ha olika tecken eftersom att $\sqrt{p^{2} - 28} < p$ (återigen antar vi att rötterna är sådana att uttrycket existerar).

Calle_K skrev:
Det snabbaste sättet är att betrakta grafen till funktionen. Den skär y-axeln vid y=7. För små p (absolutbelopp) finns inga reella rötter, men om vi förutsätter att vi har 2 reella rötter (p har tillräckligt stort belopp) gäller följande. Om p>0 är båda rötterna negativa, om p<0 är båda rötterna positiva.

Ett annat, kanske tydligare sätt, är att ställa upp PQ-formeln $x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - 7} = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 28}}{2}$

Givet att båda rötterna är reella, kan vi inte avgöra huruvida rötterna är positiva eller negativa då det beror på värdet av p. T.ex. kommer p=10 ge minst 1 negativ rot och p=-10 ge minst en positiv rot (Titta på första termen.) Vidare kommer rötterna aldrig kunna ha olika tecken eftersom att $\sqrt{p^{2} - 28} < p$ (återigen antar vi att rötterna är sådana att uttrycket existerar).

"Vidare kommer rötterna aldrig kunna ha olika tecken eftersom att sqrt(p^2-28)<p (återigen antar vi att rötterna är sådana att uttrycket existerar)." Jag är ej med riktigt och ser ej hur VL är mindre än HL. Men när du säger att p>0 ger positiva lösningar samt negativa lösningar p<0 så är det uppenbart att man ej kommer på fall där vi rötterna kommer ha olika lösningar där någon är positivt och andra är negativt.

Man kan se att bägge rötterna har samma tecken eftersom konstanttermen (7 i det här fallet ) är positiv.

Konstanttermen är ju produkten av de två rötterna.

Ture skrev:
Man kan se att bägge rötterna har samma tecken eftersom konstanttermen (7 i det här fallet ) är positiv.

Konstanttermen är ju produkten av de två rötterna.

hm du menar (x-x1)*(x-x2)? Minns ej hur man skrev detta. Men faktorsatsen är det ju. Vill du påminna mig? x^2-x1*x2+x1*x2 , där x1*x2=7 tex

en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

Just det här är inte sant: sqrt(p^2-28)<p.

p kan vara negativ.

Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

Calle_ks ide med att titta på grafen är nog den allra enklaste metoden att hitta svaret på frågan.

Vi vet att polynomet är en parabel och ser ut som en glad mun, eftersom x² termen har ett (osynligt) plustecken framför sig.

Vidare vet vi att för x = 0 går kurvan genom y = 7.

Vi kan då skissa två alternativa kurvor enligt nedan

Den gröna har två positiva rötter, den blå har två negativa rötter

Några andra möjligheter finns inte

destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

eftersom produkten av de två rötterna blir 7 måste antingen bägge rötterna vara positiva eller bägge vara negativa.

Om vi har en positiv och en negativ rot blir konstanttermen negativ

(-1*1 = -1,

(-1)*(-1) = +1 )

Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

eftersom produkten av de två rötterna blir 7 måste antingen bägge rötterna vara positiva eller bägge vara negativa.

Om vi har en positiv och en negativ rot blir konstanttermen negativ

(-1*1 = -1,

(-1)*(-1) = +1 )

Precis så vi har bara antingen x^2+x(x1+x2)+x1*x2 eller x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Ture skrev:
Calle_ks ide med att titta på grafen är nog den allra enklaste metoden att hitta svaret på frågan.

Vi vet att polynomet är en parabel och ser ut som en glad mun, eftersom x² termen har ett (osynligt) plustecken framför sig.

Vidare vet vi att för x = 0 går kurvan genom y = 7.

Vi kan då skissa två alternativa kurvor enligt nedan

Den gröna har två positiva rötter, den blå har två negativa rötter

Några andra möjligheter finns inte

Ja jag förstår denna graf perspektiv. Den är snabbare om vi vet ifall konstanttermen är positiv eller negativ. Jag kommer använda graf mer nu

destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

eftersom produkten av de två rötterna blir 7 måste antingen bägge rötterna vara positiva eller bägge vara negativa.

Om vi har en positiv och en negativ rot blir konstanttermen negativ

(-1*1 = -1,

(-1)*(-1) = +1 )

Precis så vi har bara antingen x^2+x(x1+x2)+x1*x2 eller x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Nej, vi har alltid att (x-x1)(x-x2) =

x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

destiny99 skrev:
Ja jag förstår denna graf perspektiv. Den är snabbare om vi vet ifall konstanttermen är positiv eller negativ. Jag kommer använda graf mer nu

Det är bra!

Att visualisera ökar förståelsen och minskar risken för dumma fel

Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

eftersom produkten av de två rötterna blir 7 måste antingen bägge rötterna vara positiva eller bägge vara negativa.

Om vi har en positiv och en negativ rot blir konstanttermen negativ

(-1*1 = -1,

(-1)*(-1) = +1 )

Precis så vi har bara antingen x^2+x(x1+x2)+x1*x2 eller x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Nej, vi har alltid att (x-x1)(x-x2) =

x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Okej men varför är det bara denna som gäller? Vad hände med x^2+x(x1+x2)+x1*x2? Ska vi ej använda båda för att resonera här?

destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

eftersom produkten av de två rötterna blir 7 måste antingen bägge rötterna vara positiva eller bägge vara negativa.

Om vi har en positiv och en negativ rot blir konstanttermen negativ

(-1*1 = -1,

(-1)*(-1) = +1 )

Precis så vi har bara antingen x^2+x(x1+x2)+x1*x2 eller x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Nej, vi har alltid att (x-x1)(x-x2) =

x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Okej men varför är det bara denna som gäller? Vad hände med x^2+x(x1+x2)+x1*x2? Ska vi ej använda båda för att resonera här?

ett andragradspolynom med nollställena x1 och x2 kan skrivas som

(x-x1)(x-x2) = x^2-x(x1+x2)+x1*x2

x^2+x(x1+x2)+x1*x2 har inget med det här att göra

Däremot kan, med vissa värden på x1 och x2, summan av dom bli negativ och därför blir x-termen positiv, men det är ngt annat

Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
destiny99 skrev:
Ture skrev:
en andragradsfunktion med en etta framför kvadrattermen med rötterna x₁ och x₂ kan skrivas som

(x-x₁)(x-x₂) = x² -x(x₁+x₂) + x₁*x₂

I det här fallet är x₁x₂ = 7

jaha okej juste. Men (x1+x2) kan vara negativt och positivt ?

visst

Men det påverkar produkten x1*x2 om (x1+x2) är positivt pga negativt tecken framför summan. Nu har vi (x-x1)(x-x2) och ej (x+x1)(x+x2).

eftersom produkten av de två rötterna blir 7 måste antingen bägge rötterna vara positiva eller bägge vara negativa.

Om vi har en positiv och en negativ rot blir konstanttermen negativ

(-1*1 = -1,

(-1)*(-1) = +1 )

Precis så vi har bara antingen x^2+x(x1+x2)+x1*x2 eller x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Nej, vi har alltid att (x-x1)(x-x2) =

x^2-x(x1+x2)+x1*x2.

Okej men varför är det bara denna som gäller? Vad hände med x^2+x(x1+x2)+x1*x2? Ska vi ej använda båda för att resonera här?

ett andragradspolynom med nollställena x1 och x2 kan skrivas som

(x-x1)(x-x2) = x^2-x(x1+x2)+x1*x2

x^2+x(x1+x2)+x1*x2 har inget med det här att göra

Däremot kan, med vissa värden på x1 och x2, summan av dom bli negativ och därför blir x-termen positiv, men det är ngt annat

Aa ok juste det är ju denna y= a (x-x1)(x-x2) där a=1. Aa okej men jag tror det är bäst att man håller sig till att x1 och x2 ska antingen vara båda positiva eller negativa så att konstantermen blir positiv då. Annars om en av dem har olika tecken så påverkar det konstanttermen.

Laguna skrev:
Just det här är inte sant: sqrt(p^2-28)<p.

p kan vara negativ.

Kände på mig att något inte var helt korrekt när jag kontrolläste.

$\sqrt{p^{2} - 28} < |p|$ gäller vilket implicerar

p>0: $- p + \sqrt{p^{2} - 28} < 0$
p<0: $- p - \sqrt{p^{2} - 28} > 0$

Därmed måste rötterna ha samma tecken.

Calle_K skrev:
Laguna skrev:
Just det här är inte sant: sqrt(p^2-28)<p.

p kan vara negativ.

Kände på mig att något inte var helt korrekt när jag kontrolläste.

$\sqrt{p^{2} - 28} < |p|$ gäller vilket implicerar

p>0: $- p + \sqrt{p^{2} - 28} < 0$

p<0: $- p - \sqrt{p^{2} - 28} > 0$

Därmed måste rötterna ha samma tecken.

Jag förstår ej var sqrt(p^2-28)<|p| kommer ifrån samt varför vi använder den för att svara på frågan? De två punkterna som kommer efter förstår jag ej heller. Är detta en tredje sätt att lösa uppgiften på utöver grafresonemang?