Mafy 2009 uppgift 25

Tips 1: Försök att skriva dina.ettor så att de verkligen ser ut som ettor. Jag läser hela tiden dina ettor som ett litet n (grönmarkerat) och din lösning blir då väldigt svårläst:

Svar på din fråga:

Du löser ekvationen rätt men eftersom du kvadrerar bägge led så riskerar du att införa en falsk rot. Det är därför bra att du kontrollerar dina lösningar. 

Men det finns stor risk för felskrivningar när du sätter in rötterna och förenklar. 

Tips 2: Använd istället din räknare för att beräkna värdet av x₁ respektive x₂ innan du sätter in dem för att visa att x₁ är en äkta rot och x₂ är en falsk rot.

Yngve skrev:

Tips 1: Försök att skriva dina.ettor så att de verkligen ser ut som ettor. Jag läser hela tiden dina ettor som ett litet n (grönmarkerat) och din lösning blir då väldigt svårläst:

Svar på din fråga:

Du löser ekvationen rätt men eftersom du kvadrerar bägge led så riskerar du att införa en falsk rot. Det är därför bra att du kontrollerar dina lösningar. 

Men det finns stor risk för felskrivningar när du sätter in rötterna och förenklar. 

Tips 2: Använd istället din räknare för att beräkna värdet av x₁ respektive x₂ innan du sätter in dem för att visa att x₁ är en äkta rot och x₂ är en falsk rot.

Ja absolut! Jag kommer skriva mina ettor som riktiga ettor så de ser ut så. Jag fick ungefär x1= 2,4 och x2=-0,4

En alternativ lösningsmetod 

sätt $a = \sqrt{2x+1}$

ger ekvationen 

a + 1/a = 2 som har lösningarna

$a = 1\pm \sqrt{2}$, där vi direkt kan förkasta den negativa roten.

återstår att lösa 

$1+\sqrt{2}= \sqrt{2x+1}$

kvadrering av bägge led ger

$1+2+2\sqrt{2}=2x+1$

och vi kan lösa ut x 

Ture skrev:

En alternativ lösningsmetod 

sätt $a = \sqrt{2x+1}$

ger ekvationen 

a + 1/a = 2 som har lösningarna

$a = 1\pm \sqrt{2}$, där vi direkt kan förkasta den negativa roten.

återstår att lösa 

$1+\sqrt{2}= \sqrt{2x+1}$

kvadrering av bägge led ger

$1+2+2\sqrt{2}=2x+1$

och vi kan lösa ut x 

Varför förkastas den negativa lösningen?  Den är väl en lösning väl? När jag löser ut x får jag x= 1+sqrt(2) vilket är ungefär 2,4 så typ 2. Skulle jag behålla den negativa lösningen som a=1-sqrt(2) så hade vi fått 1-sqrt(2)=sqrt(2x+1). Efter kvadrering får vi typ 

1-2sqrt(2)+2=2x+1

2-2sqrt(2)=2x

x= 1-sqrt(2) vilket ungefär är lika med -0,2 vilket ej är lika med 2

om a = $\sqrt{nånting}$. är a > 0.

Eftersom man har bestämt att det ska vara så (det finns säkert nån bättre orsak, men den har jag i så fall glömt), ej att förväxla med lösningen på en ekvation av typen b² = nånting som har lösningarna $\pm \sqrt{nånting}$

I mitt fall har vi a= 1+- $\sqrt2$ dvs cirka 2,4 och -0,4 därför drar jag slutsatsen att a = 1+$\sqrt2$

Sen kan vi fortsätta lösningen som jag skissade

Ture skrev:

om a = $\sqrt{nånting}$. är a > 0.

Eftersom man har bestämt att det ska vara så (det finns säkert nån bättre orsak, men den har jag i så fall glömt), ej att förväxla med lösningen på en ekvation av typen b² = nånting som har lösningarna $\pm \sqrt{nånting}$

I mitt fall har vi a= 1+- $\sqrt2$ dvs cirka 2,4 och -0,4 därför drar jag slutsatsen att a = 1+$\sqrt2$

Sen kan vi fortsätta lösningen som jag skissade

Ok. Men jag testade även att stoppa in typ ungefär 2,4 och -0,2 i ursprungliga funktionen för att uppskatta vilken av dem som är närmast lika med  högerledet och det är isåfall x=1+sqrt(2). Men om man snabbt kommer på ditt sätt funkar det också. Tack för hjälpen

destiny99 skrev:

Varför förkastas den negativa lösningen? 

Du kan läsa om rotekvationer och risken för falska rötter här.

I korthet: Om du kvadrerar ett uttryck så förlorar du informationen om uttrycket var positivt eller negativt.

Exempel:

Om vi har talet -2 och kvadrerar det så får vi talet 4. Vi har nu förlorat informationen att det ursprungliga talet var negativt. Om vi sedan drar roten ur 4 så får vi resultatet 2, inte resultatet -2 som vi kanske förväntade oss (eftersom vi först kvadrerade och sedan tänkte att vi "ogjorde" kvadreringen genom att dra roten ur).

Jag undrar om ni hade tyckt att detta hade varit rätt:

För att lösa ekvationen tänkte jag att man kan använda sig av en substitution. Vi låter $y=\sqrt{2x+1}$, vilket innebär att $y-\frac{1}{y}=2$. Multiplicera båda sidor med $y$ för att få en kvadratisk ekvation, $y^2-2 y-1=0$. Lösningarna till denna ekvation är:

$y=1 \pm \sqrt{2}$

Eftersom vi vill ha den minsta lösningen, väljer vi $y=1-\sqrt{2}$. Substituera tillbaka för att hitta $x$:

$\sqrt{2 x+1}=1-\sqrt{2}$

$2 x+1=\left( 3-2\sqrt{2} \right)^{2} \Leftrightarrow \left( 3^{2}-6\sqrt{2} +8\right)$
$2x=16-6\sqrt{2}$
$x=8-3\sqrt{2}$

Således är den minsta lösningen till ekvationen $x=8-3\sqrt{2}$

läs inlägg 4

Dani163 skrev:

Jag undrar om ni hade tyckt att detta hade varit rätt:

För att lösa ekvationen tänkte jag att man kan använda sig av en substitution. Vi låter $y=\sqrt{2x+1}$, vilket innebär att $y-\frac{1}{y}=2$. Multiplicera båda sidor med $y$ för att få en kvadratisk ekvation, $y^2-2 y-1=0$. Lösningarna till denna ekvation är:

$y=1 \pm \sqrt{2}$

Eftersom vi vill ha den minsta lösningen, väljer vi $y=1-\sqrt{2}$. Substituera tillbaka för att hitta $x$:

$\sqrt{2 x+1}=1-\sqrt{2}$

$2 x+1=\left( 3-2\sqrt{2} \right)^{2} \Leftrightarrow \left( 3^{2}-6\sqrt{2} +8\right)$
$2x=16-6\sqrt{2}$
$x=8-3\sqrt{2}$

Således är den minsta lösningen till ekvationen $x=8-3\sqrt{2}$

Nej det blir fel, du förkastar fel rot i det första steget, läs inlägg 6

Ture skrev:

Dani163 skrev:

Jag undrar om ni hade tyckt att detta hade varit rätt:

För att lösa ekvationen tänkte jag att man kan använda sig av en substitution. Vi låter $y=\sqrt{2x+1}$, vilket innebär att $y-\frac{1}{y}=2$. Multiplicera båda sidor med $y$ för att få en kvadratisk ekvation, $y^2-2 y-1=0$. Lösningarna till denna ekvation är:

$y=1 \pm \sqrt{2}$

Eftersom vi vill ha den minsta lösningen, väljer vi $y=1-\sqrt{2}$. Substituera tillbaka för att hitta $x$:

$\sqrt{2 x+1}=1-\sqrt{2}$

$2 x+1=\left( 3-2\sqrt{2} \right)^{2} \Leftrightarrow \left( 3^{2}-6\sqrt{2} +8\right)$
$2x=16-6\sqrt{2}$
$x=8-3\sqrt{2}$

Således är den minsta lösningen till ekvationen $x=8-3\sqrt{2}$

Nej det blir fel, du förkastar fel rot i det första steget, läs inlägg 6

Alltså vill vi ha det såhär?

$\sqrt{2x+1} =1+\sqrt{2} \\ 2x+1=1+2\sqrt{2} +2\\ 2x=2\sqrt{2} +2\\ x=\sqrt{2} +1\\$

Det undgick mig varför vi vill skriva 1+√2 istället för 1-√2, även om jag läste #8. 

Läste du inlägg 6?

Ture skrev:

om a = $\sqrt{nånting}$. är a > 0.

Så vi hade 

$a=\sqrt{2x+1}$

Vilket innebär att a > 0, och därför att $\sqrt{2x+1} > 0$?

ej att förväxla med lösningen på en ekvation av typen b² = nånting som har lösningarna $\pm \sqrt{nånting}$

Det är kanske här som jag blev förvirrad, när vi introducerar en annan variabel b. 

I mitt fall har vi a= 1+- $\sqrt2$ dvs cirka 2,4 och -0,4 därför drar jag slutsatsen att a = 1+$\sqrt2$

Jag tänkte att -0,4 är mindre än 2,4, vilket innebär att det ger oss den mindre lössningen.

Dani163 skrev:

Ture skrev:

om a = $\sqrt{nånting}$. är a > 0.

Så vi hade 

$a=\sqrt{2x+1}$

Vilket innebär att a > 0, och därför att $\sqrt{2x+1} > 0$?

ej att förväxla med lösningen på en ekvation av typen b² = nånting som har lösningarna $\pm \sqrt{nånting}$

Det är kanske här som jag blev förvirrad, när vi introducerar en annan variabel b. 

I mitt fall har vi a= 1+- $\sqrt2$ dvs cirka 2,4 och -0,4 därför drar jag slutsatsen att a = 1+$\sqrt2$

 

Jag tänkte att -0,4 är mindre än 2,4, vilket innebär att det ger oss den mindre lössningen.

Det här är ett mellanresultat dvs värdet på variabeln a som jag införde som substitution för $\sqrt{2x+1}$, den variabeln, a, måste vara > = 0

$1-\sqrt{2}<0$, därför förkastar jag den lösningen för a.