Mafy 2008 uppgift 13

Även om partikeln färdades med ljusets hastighet skulle den behöva $50\mathrm{\mu s}$ för att färdas sträckan 15 km.  Alltså långt mer än de $2.2\mathrm{\mu s}$ som partiklarna lever. Men det är något som gör att partiklarna verkar överleva en längre tid. Vad är det för effekt? Kan du mellan tummen och pekfingret uppskatta en minsta gammafaktor?

D4NIEL skrev:

Även om partikeln färdades med ljusets hastighet skulle den behöva $50\mathrm{\mu s}$ för att färdas sträckan 15 km.  Alltså långt mer än de $2.2\mathrm{\mu s}$ som partiklarna lever. Men det är något som gör att partiklarna verkar överleva en längre tid. Vad är det för effekt? Kan du mellan tummen och pekfingret uppskatta en minsta gammafaktor?

Nu hänger jag ej med var du får dina siffror ifrån. .

Det står att myonerna ska färdas sträckan 15km.

Hur lång tid tar det för myonerna att färdas sträckan 15 km om de färdas med ljusets hastighet? (Snabbare än så får de ju åtminstone inte färdas)

D4NIEL skrev:

Det står att myonerna ska färdas sträckan 15km.

Hur lång tid tar det för myonerna att färdas sträckan 15 km om de färdas med ljusets hastighet? (Snabbare än så får de ju åtminstone inte färdas)

15*10^3/3,0*10^8 = 5*10^-5 s?

Ja, och det är samma sak som $50\mathrm{\mu s}$, men livslängden för partiklarna är bara $2\mathrm{\mu s}$. Alltså måste det vara någon sorts relativistisk effekt som gör att de verkar överleva längre.

Kan du någon formel för tidsdilatation? Vilken minsta gammafaktor  eller hastighet behövs för att partiklarna ska verka leva så länge?

Kan du relatera det till energin på något vis?

D4NIEL skrev:

Ja, och det är samma sak som $50\mathrm{\mu s}$, men livslängden för partiklarna är bara $2\mathrm{\mu s}$. Alltså måste det vara någon sorts relativistisk effekt som gör att de verkar överleva längre.

Kan du någon formel för tidsdilatation? Vilken minsta gammafaktor  eller hastighet behövs för att partiklarna ska verka leva så länge?

Kan du relatera det till energin på något vis?

Nää jag kan bara E=Ek+Etot

Gammafaktorn bestämmer hur mycket kortare saker blir och hur mycket tiden späds ut.

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$t=\gamma t^\prime$

$E=\gamma m_0c^2$

Som överslag har vi konstaterat att myonerna måste leva $t=50\mathrm{\mu s}$ och för det krävs $\gamma\approx \frac{50\mathrm{\mu s}}{2.2\mathrm{\mu s}}\approx 22.72$

Så energin måste åtminstone vara $E=\gamma m_0c^2=22.72\cdot105.7\mathrm{MeV}\approx 2.4\mathrm{GeV}$

Det här är naturligtvis bara ett överslag, men det stämmer ganska väl eftersom hastigheten måste vara väldigt nära ljusets.

Vill man lösa uppgiften på "riktigt" får man isolera hastigheten i (tänk på att $\gamma$ beror av $v$).

$15\mathrm{km}=v\gamma T_{1/2}$

D4NIEL skrev:

Gammafaktorn bestämmer hur mycket kortare saker blir och hur mycket tiden späds ut.

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$t=\gamma t^\prime$

$E=\gamma m_0c^2$

Som överslag har vi konstaterat att myonerna måste leva $t=50\mathrm{\mu s}$ och för det krävs $\gamma\approx \frac{50\mathrm{\mu s}}{2.2\mathrm{\mu s}}\approx 22.72$

Så energin måste åtminstone vara $E=\gamma m_0c^2=22.72\cdot105.7\mathrm{MeV}\approx 2.4\mathrm{GeV}$

Det här är naturligtvis bara ett överslag, men det stämmer ganska väl eftersom hastigheten måste vara väldigt nära ljusets.

Vill man lösa uppgiften på "riktigt" får man isolera hastigheten i (tänk på att $\gamma$ beror av $v$).

$15\mathrm{km}=v\gamma T_{1/2}$

Förstår ej hur du gjorde med gamma formeln. Kan vi backa så du visar steg för steg hur du fick 22.72 ?  Du hoppade över en del steg.

Myonerna lever ungefär $t=2.2\mathrm{\mu s}$

Även om de färdades med ljusets hastighet skulle de inte komma längre än

$s=vt=(3\cdot 10^8\mathrm{m/s})\cdot (2.2\mathrm{\mu s})=660\mathrm{m}$

på den tiden, innan de dör. Men ändå lyckas myonerna på något vis färdas $15\mathrm{km}$.

Det är ju ungefär $\frac{15\mathrm{km}}{660\mathrm{m}}=22.727273$ gånger längre än partiklarna borde komma! Orsaken är att partiklarna lever längre sett i vår referensram här på jorden på grund av relativistisk tidsdilatation.

Från gymnasiefysikens formelsamling vet vi att

$t=t^\prime\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=t^\prime \gamma$

Vi behöver alltså minst en gammafaktor på 22.73. Är du med?

D4NIEL skrev:

Myonerna lever ungefär $t=2.2\mathrm{\mu s}$

Även om de färdades med ljusets hastighet skulle de inte komma längre än

$s=vt=(3\cdot 10^8\mathrm{m/s})\cdot (2.2\mathrm{\mu s})=660\mathrm{m}$

på den tiden, innan de dör. Men ändå lyckas myonerna på något vis färdas $15\mathrm{km}$.

Det är ju ungefär $\frac{15\mathrm{km}}{660\mathrm{m}}=22.727273$ gånger längre än partiklarna borde komma! Orsaken är att partiklarna lever längre sett i vår referensram här på jorden på grund av relativistisk tidsdilatation.

Från gymnasiefysikens formelsamling vet vi att

$t=t^\prime\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=t^\prime \gamma$

Vi behöver alltså minst en gammafaktor på 22.73. Är du med?

Nej jag är ej med hur gammafaktorn blir 22.73?  Du använder t=t'*gamma  men vad har t och t' för värden?

$t^\prime$ är tiden myonen lever i sitt eget referenssystem, enligt uppgiftstexten $2.2\mathrm{\mu s}$.

$t$ är tiden myonen måste leva i vår referensram här på jorden för att den ska hinna färdas $15\mathrm{km}$ i vår referensram med den högsta tillåtna hastigheten i universum innan den dör.

D4NIEL skrev:

$t^\prime$ är tiden myonen lever i sitt eget referenssystem, enligt uppgiftstexten $2.2\mathrm{\mu s}$.

$t$ är tiden myonen måste leva i vår referensram här på jorden för att den ska hinna färdas $16\mathrm{km}$ i vår referensram med den högsta tillåtna hastigheten i universum innan den dör.

Så om vi vet gamma så kan vi räkna ut t? Och gamma fås ut som 1/sqrt(1-v^2/c^2 ). Men vad är v här ? 

För att uppskatta gamma antar vi först att myonen går ungefär med ljusets hastighet.

Då tar det myonen $t=\frac{15\mathrm{km}} { 3\cdot 10^8\mathrm{m/s}}\approx 50\mathrm{\mu s}$ att färdas $15\mathrm{km}$.

Gamma blir sedan kvoten mellan tiden myonen lever i sitt eget referenssystem och tiden den lever i jordens referenssystem.

$\gamma=\frac{t}{t^\prime}\approx 22.7273$

Eftersom ingenting får färdas snabbare än ljuset, inte ens myoner, måste alltså $\gamma$-faktorn vara minst $22.73$

D4NIEL skrev:

För att uppskatta gamma antar vi först att myonen går ungefär med ljusets hastighet.

Då tar det myonen $t=\frac{15\mathrm{km}} { 3\cdot 10^8\mathrm{m/s}}\approx 50\mathrm{\mu s}$ att färdas $15\mathrm{km}$.

Gamma blir sedan kvoten mellan tiden myonen lever i sitt eget referenssystem och tiden den lever i jordens referenssystem.

$\gamma=\frac{t}{t^\prime}\approx 22.7273$

Eftersom ingenting får färdas snabbare än ljuset, inte ens myoner, måste alltså $\gamma$-faktorn vara minst $22.73$

Okej jag är med på det här nu. Jag tycker det är konstigt att de kallar 105.7 MeV/c^2 för massa fastän det är energi. Man blir lite förvirrad

Ja, det kan vara lite förvirrande, men tänk på att $c$ är ljusets hastighet. Enhetsmässigt blir $\mathrm{MeV/c^2}$ en sorts

$\displaystyle \frac{energi}{(hastighet)^2}$

Vi har också att $E=mc^2$ som vi kan skriva om till $m=\frac{E}{c^2}$. Det betyder att $105.7\mathrm{MeV/c^2}$ faktiskt är en massa.

Sätt enheten för energi till $J=Nm=[kgm/s^2]\cdot[m]$ och gör en enhetsanalys av uttrycket. så får du se att allt stämmer!

D4NIEL skrev:

Ja, det kan vara lite förvirrande, men tänk på att $c$ är ljusets hastighet. Enhetsmässigt blir $\mathrm{MeV/c^2}$ en sorts

$\displaystyle \frac{energi}{(hastighet)^2}$

Vi har också att $E=mc^2$ som vi kan skriva om till $m=\frac{E}{c^2}$. Det betyder att $105.7\mathrm{MeV/c^2}$ faktiskt är en massa.

Sätt enheten för energi till $J=Nm=[kgm/s^2]\cdot[m]$ och gör en enhetsanalys av uttrycket. så får du se att allt stämmer!

Ja du har helt rätt. Det stämmer,provade faktiskt