Maclaurserie

Det är en sak som jag inte förstår när det gäller maclaurensserie, om jag tillexempel får frågan Bestäm maclaurinpolynomet av åtttondegraden till funktionen

f(x)= $\frac{x ²}{1 + x ³}$

Hur ska man göra det på ett enkelt sätt utan att man deriverar 18 gånger. kan någon snälla visa tydligt hur man gör.

Du kan tex använda den kända Maclaurinutvecklingen

$\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - . . .$ ,

vilket är ett specialfall av geometrisk serie.

Du kan också testa att göra en ansats: p(x) = a₀ + a₁x + … + a₈x⁸ + O(x⁹).

$\frac{x^{2}}{1 + x^{3}} = p (x) \Rightarrow x^{2} = (1 + x^{3}) p (x)$ , och sedan får du bestämma vad konstanterna a_k skall vara genom att kräva att HL = VL.

I det här fallet kan man också utnyttja att:

$\frac{d}{dx}\ln (1+x^3)=$
$\frac{3x^2}{1+x^3}=3f(x)$
Alltså kan du termvis derivera utvecklingen för $\frac{1}{3}\cdot \ln (1+x^3)$ .

Svara