Maclaurinutvecklingar

Maclaurinutvecklingen av $f\left(x\right)$ kan skrivas som

$f\left(x\right)=f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)x+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{x}^2+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{3!}{x}^3+\frac{f^{\left(4\right)}\left(0\right)}{4!}{x}^4+...+\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n+R$

Jag antar att du har termerna framför $x^2,x^3{x}^4$ och du ska kolla att de stämmer?

Mindstormer skrev :

Maclaurinutvecklingen av $f\left(x\right)$ kan skrivas som

$f\left(x\right)=f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)x+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{x}^2+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(0\right)}{3!}{x}^3+\frac{f^{\left(4\right)}\left(0\right)}{4!}{x}^4+...+\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n+R$

Jag antar att du har termerna framför $x^2,x^3{x}^4$ och du ska kolla att de stämmer?

Skrev av exakt vad som stod, antar att koeffecienterna är 1 då

Här framgår varken hur f(x) ser ut eller vad de påstådda koefficienterna är, så vi kan inte ge dig mycket mer hjälp än vad Mindstormer redan har gett dig. 

Dr. G skrev :

Här framgår varken hur f(x) ser ut eller vad de påstådda koefficienterna är, så vi kan inte ge dig mycket mer hjälp än vad Mindstormer redan har gett dig. 

 i facit får jag lite hjälp. där står det funktionen f(x) ska i närheten av x=0 approximeras med polynomet $$\begin{gathered} g\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{a}^4+... \\ g\left(0\right)=a_0=f\left(0\right) \end{gathered}$$
förstår inte var polynomet kom ifrån?

Som Mindstormer skrev så fås koefficienterna av f:s derivator av olika ordningar i punkten. 

Om du vet vad f(x) är för funktion så kan derivatorna beräknas och koefficienterna a0, a1, etc. bestämmas. 

Enklast är nog att ta ett exempel, t.ex f(x) = e^x, men som frågan är ställd så borde det finnas ett exempel i uppgiften. 

Dr. G skrev :

Som Mindstormer skrev så fås koefficienterna av f:s derivator av olika ordningar i punkten. 

Om du vet vad f(x) är för funktion så kan derivatorna beräknas och koefficienterna a0, a1, etc. bestämmas. 

Enklast är nog att ta ett exempel, t.ex f(x) = e^x, men som frågan är ställd så borde det finnas ett exempel i uppgiften. 

 okej, jag förstår

Dr. G skrev :

Som Mindstormer skrev så fås koefficienterna av f:s derivator av olika ordningar i punkten. 

Om du vet vad f(x) är för funktion så kan derivatorna beräknas och koefficienterna a0, a1, etc. bestämmas. 

Enklast är nog att ta ett exempel, t.ex f(x) = e^x, men som frågan är ställd så borde det finnas ett exempel i uppgiften. 

 fick ut att g'(0)=a1=f'(0)

g''(0)=2a2=f''(0)--> a2=f''(0)/2

g'''(0)=6a3=f'''(0)--> a3=f'''(0)/6--> a3=f'''(0)/3!

g''''(0)=24a4=f''''(0) --> a4= f''''/24 --> a4=f''''(0)/4!

är koefficienterna då följande:
x^2, har koefficienten 2a2
x^3 har koefficienten 6a3
x^4 har koefficienten 24a4

Titta t.ex på de två första bilderna på Wikipedia så kanske det klarnar. Ett maclaurinpolynom approximerar en funktion för x-värden nära 0. Ju fler termer man har med (ju högre grad på polynomet), desto bättre blir approximationen. 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Dr. G skrev :

Titta t.ex på de två första bilderna på Wikipedia så kanske det klarnar. Ett maclaurinpolynom approximerar en funktion för x-värden nära 0. Ju fler termer man har med (ju högre grad på polynomet), desto bättre blir approximationen. 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

 det har jag förstått, har gjort rätt uträkning vet bara inte riktigt hur jag ska tolka det. hur får jag koefficienterna från det jag räknat ut

Står inte det f(x) du skall använda definierat någonstans, exempelvis på raden ovanför den som du skrev av?

Ok, nu kanske jag förstår vad det frågas efter.

$g\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$

g(x) är maclaurinpolynom till f(x) av grad 4 om

g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0), g'''(0) = f'''(0), g''''(0) = f''''(0)

Du vill visa att detta gäller och vad då koefficienterna a0 till a4 har för värden.

g-derivatorna kan du räkna ut (i a0, ..., a4) och f-derivatorna är vad de är. Du får då ut koefficienterna a0 till a4 som funktion av f:s derivator då x = 0.