Maclaurinutveckling och beräkning av restterm

Felet blir större ju större x vi väljer, förstår du varför?

Om då x är mindre 0,1, hur stort blir felet?

Qetsiyah skrev:

Felet blir större ju större x vi väljer, förstår du varför?

Om då x är mindre 0,1, hur stort blir felet?

Jag förstår att man får en större felmarginal ju större x man väljer men jag kan inte svara på den andra frågan du ställer då jag inte riktigt är med på hur jag rent syntax mässigt redovisar hur stor felet blir.

Vi har att $e^{x}\approx P_3(x)+R_4(x)$, och feltermen blir, som du skriver,

$R_4(x)=\dfrac{e^c}{4!} x^4$, där $c$ ligger mellan 0 och x.

För $-0.1\leq x\leq 0.1$ har vi maximalt fel

$|R_4(0.1)|\leq\dfrac{e^{0.1}}{4!} (0.1)^4\approx 4.6\cdot 10^{-6}$, om jag nu har räknat rätt.

dr_lund skrev:

Vi har att $e^{x}\approx P_3(x)+R_4(x)$, och feltermen blir, som du skriver,

$R_4(x)=\dfrac{e^c}{4!} x^4$, där $c$ ligger mellan 0 och x.

För $-0.1\leq x\leq 0.1$ har vi maximalt fel

$|R_4(0.1)|\leq\dfrac{e^{0.1}}{4!} (0.1)^4\approx 4.6\cdot 10^{-6}$, om jag nu har räknat rätt.

Borde inte första ekvationen ha strikt likhet då e^x är lika med maclaurinapprox adderad med resttermen som skall justera polynomet till att vara exakt?

Okej så du använder 0,1 som både c och x. I texten står det att c skall väljas "lämpligt" om x just är lika eller mindre än 0,1. Så jag förstår varför x blir 0,1 då för att ta största möjliga felmarginal i uppskattningen av maclaurinpolynomet men hur tänker du när du skall välja det lämpliga talet c? Förstår nämligen inte just denna delen varför du valde att använda 0,1 som ditt c ? :)

Fråga 1: Jag delar din uppfattning. Även om maclaurin-tekniken i sig innebär en approximation av en funktion f(x), skriver man med "vanligt" likhetstecken.

Fråga 2: Notera att jag har full frihet att välja

$0 \leq c \leq x$,

där $-0.1\leq x \leq 0.1$.

Eftersom exp-funktionen är strängt växande, får jag maximalt fel genom att välja c som höger ändpunkt i intervallet, dvs

$R_4(0.1)=\dfrac{e^c}{4!}\cdot 0.1^4\leq \dfrac{e^{0.1}}{24}\cdot 0.1^4<\dfrac{3^{0.1}}{24}\cdot 0.1^4\approx 4.65 \cdot 10^{-6}$, om vi utgår från att $e<3$. Då tar jag i extra ordentligt