Maclaurinutveckling med gränsvärden - vad gör jag fel här?

Jag kan inte hitta något fel i dina beräkningar, men däremot kan vi se att svaret blir rätt om vi använder en maclaurin av andra ordningen. Kan det vara noggrannheten som ställer till det? 

Smutstvätt skrev:

Jag kan inte hitta något fel i dina beräkningar, men däremot kan vi se att svaret blir rätt om vi använder en maclaurin av andra ordningen. Kan det vara noggrannheten som ställer till det? 

Det är mycket möjligt. Tippar nog mot att du har rätt just eftersom vidare utveckling ger rätt svar, men vad säger du om följande resonemang: jag är ganska dålig på det här med resttermen, men jag tänker ju att om noggrannheten ställer till det så bör ju det rätta svaret finnas inom ett intervall som ligger mellan svaret som ges av maclaurinutvecklingen och svaret - maximala värdet på resttermen. 

I en utveckling av första ordningen är ju resttermen  $\frac{-\varnothing t^2}{2}$där $\varnothing$är någonstans mellan 0 och 1 beroende på vad som ger störst värde. I vårt fall söker vi felet när t->0. Resttermen ger ju då ett fel av 0. Hur går isåfall detta ihop? Jag misstänker ju att jag missbrukar resttermen på något vis, men jag förstår inte riktigt hur. 

Du har 

$\ln (1+t)=t+tr\left(t\right),$

där $r\left(t\right)$går mot 0 när t går mot 0. Så vi får:

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t+1}{t}-\frac{1}{\ln (1+t)}=1+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}-\frac{1}{t+tr\left(t\right)}=1+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{r\left(t\right)}{t(1+r(t\left)\right)},$

där det sista gränsvärdet är av typen 0/0. Så du behöver utveckla polynomet längre.

Knugenshögra skrev:

Smutstvätt skrev:

Jag kan inte hitta något fel i dina beräkningar, men däremot kan vi se att svaret blir rätt om vi använder en maclaurin av andra ordningen. Kan det vara noggrannheten som ställer till det? 

Det är mycket möjligt. Tippar nog mot att du har rätt just eftersom vidare utveckling ger rätt svar, men vad säger du om följande resonemang: jag är ganska dålig på det här med resttermen, men jag tänker ju att om noggrannheten ställer till det så bör ju det rätta svaret finnas inom ett intervall som ligger mellan svaret som ges av maclaurinutvecklingen och svaret - maximala värdet på resttermen. 

I en utveckling av första ordningen är ju resttermen  $\frac{-\varnothing t^2}{2}$där $\varnothing$är någonstans mellan 0 och 1 beroende på vad som ger störst värde. I vårt fall söker vi felet när t->0. Resttermen ger ju då ett fel av 0. Hur går isåfall detta ihop? Jag misstänker ju att jag missbrukar resttermen på något vis, men jag förstår inte riktigt hur. 

Du resonerar om felet i $\ln (1+t)\approx t$

du borde resonera om felet i $\frac{1}{\ln (1+t)}\approx \frac{1}{t}$.

Mycket små fel i den första approximation kan bli mycket stora fel i den andra, om t är nära 0.

Smutsmunnen skrev:

Du har 

$\ln (1+t)=t+tr\left(t\right),$

där $r\left(t\right)$går mot 0 när t går mot 0. Så vi får:

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t+1}{t}-\frac{1}{\ln (1+t)}=1+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}-\frac{1}{t+tr\left(t\right)}=1+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{r\left(t\right)}{t(1+r(t\left)\right)},$

där det sista gränsvärdet är av typen 0/0. Så du behöver utveckla polynomet längre.

Ahaa, det förklarar en hel del. Det var nämligen så min bok visade hur man valde ordningen att utveckla till i ett annat exempel. Tack för hjälpen allihop! :)

Smutsmunnen skrev:

Knugenshögra skrev:

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev:

Jag kan inte hitta något fel i dina beräkningar, men däremot kan vi se att svaret blir rätt om vi använder en maclaurin av andra ordningen. Kan det vara noggrannheten som ställer till det? 

Det är mycket möjligt. Tippar nog mot att du har rätt just eftersom vidare utveckling ger rätt svar, men vad säger du om följande resonemang: jag är ganska dålig på det här med resttermen, men jag tänker ju att om noggrannheten ställer till det så bör ju det rätta svaret finnas inom ett intervall som ligger mellan svaret som ges av maclaurinutvecklingen och svaret - maximala värdet på resttermen. 

I en utveckling av första ordningen är ju resttermen  $\frac{-\varnothing t^2}{2}$där $\varnothing$är någonstans mellan 0 och 1 beroende på vad som ger störst värde. I vårt fall söker vi felet när t->0. Resttermen ger ju då ett fel av 0. Hur går isåfall detta ihop? Jag misstänker ju att jag missbrukar resttermen på något vis, men jag förstår inte riktigt hur. 

Du resonerar om felet i $\ln (1+t)\approx t$

du borde resonera om felet i $\frac{1}{\ln (1+t)}\approx \frac{1}{t}$.

Mycket små fel i den första approximation kan bli mycket stora fel i den andra, om t är nära 0.

Ja jag insåg det när jag såg din beräkning med resttermen i nämnaren! :)