Maclaurinutveckling a exp cosx

Ska Maclaurinutveckla $e^{\cos x}$ med restterm $O (x^{4})$

Jag tänkte att jag skulle kunna lösa det genom att sätta cos x = t, utveckla cos x samt $e^{t}$ :

$t = \cos x = 1 - {\frac{x}{2}}^{2} + O (x^{4})$

$e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{6} + O (t^{4})$

Och sedan sätta in utvecklingen för cos x, alltså t, i utvecklingen för $e^{t}$ .

Detta verkar dock bli helt fel, vilket förvirrar mig då jag kunde använda detta tillvägagångssätt för att lösa samma typ av utveckling av $e^{\sin x}$ .

När jag kollat runt lite så hittade jag en lösning för min nuvarande utveckling, men där utvecklade man bara t, inte $e^{t}$ , och sade in detta i $e^{t}$ vilket gav ett korrekt svar.

Är min metod felande, eller är felet någon annan stans?

Det enklaste borde egentligen att göra den korrekta utvecklingen genom att derivera tre gånger. Annars borde det gå att först utveckla $\cos x$ som $1 - x^2/2$ och sätta in det så att du får $e^{1-x^2/2} = e\cdot e^{-x^2/2}$ och sedan utveckla det.

Det var längesedan jag gjorde Machlaurinutvecklingar, men jag tror att vad som går fel när du utvecklat som du gjort är att ordningen blir för hög. När du sätter in din utveckling av $\cos x$ i $e^t$ så blir ordningen på den "sista" termen mycket högre än 3. Det kan också ha något att göra med när resttermerna är begränsade, $sin x$ och $cos x$ beter ju sig på lite olika sätt.

Bra idé, problemet är att sin x går mot 0 då x går mot 0 vilket cos(x) inte gör. Du kan ha nytta av omskrivningen e^(cosx)=e * e^(cosx-1)

Jag tycker din inledande tanke är bra Pompan och tillsammans med råden nedan borde problemet vara löst

$\cos x = 1 - \frac{x ²}{2} + O (x ⁴) e^{1 - \frac{x ²}{2} + O (x^{4})} = e \cdot e^{- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴)} = e (1 + (- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴))) = e (1 - \frac{x ²}{2}) + O (x ⁴)$

Notera att du inte behöver fortsätta till andra ordningens term vid maclaurinutvecklingen av e^t eftersom du då skulle få termer av ordning fyra för x och dessa bakas ju in i ordonotationen

isabella skrev:
Det enklaste borde egentligen att göra den korrekta utvecklingen genom att derivera tre gånger. Annars borde det gå att först utveckla $\cos x$ som $1 - x^2/2$ och sätta in det så att du får $e^{1-x^2/2} = e\cdot e^{-x^2/2}$ och sedan utveckla det.
Det var längesedan jag gjorde Machlaurinutvecklingar, men jag tror att vad som går fel när du utvecklat som du gjort är att ordningen blir för hög. När du sätter in din utveckling av $\cos x$ i $e^t$ så blir ordningen på den "sista" termen mycket högre än 3. Det kan också ha något att göra med när resttermerna är begränsade, $sin x$ och $cos x$ beter ju sig på lite olika sätt.

Provade att derivera $e^{\cos x}$ tre gånger och ja, då blev ju uppgiften rätt enkel. Men tänkte att man kunde se på alternativa metoder som övning :)

I mina försök har jag ej tagit med x⁴-termer, då restterm på x⁴ efterfrågas och jag har förstått det som att alla termer med "likvärdig" (eller större) potens som resttermen stryks.

parveln skrev:
Bra idé, problemet är att sin x går mot 0 då x går mot 0 vilket cos(x) inte gör. Du kan ha nytta av omskrivningen e^(cosx)=e * e^(cosx-1)

Hm. Så för att kunna använda metoden jag ursprungligen använde måste alltså det jag utvecklar gå mot noll när x går mot noll?

Utvecklar du i så fall cosx-1, eller exp(cosx-1)?

Greenberg skrev:
Jag tycker din inledande tanke är bra Pompan och tillsammans med råden nedan borde problemet vara löst
$\cos x = 1 - \frac{x ²}{2} + O (x ⁴) e^{1 - \frac{x ²}{2} + O (x^{4})} = e \cdot e^{- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴)} = e (1 + (- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴))) = e (1 - \frac{x ²}{2}) + O (x ⁴)$
Notera att du inte behöver fortsätta till andra ordningens term vid maclaurinutvecklingen av e^t eftersom du då skulle få termer av ordning fyra för x och dessa bakas ju in i ordonotationen

Tror att jag tänker lite fel bara, men hänger inte med på ditt andra = på andra raden. Har du utvecklat $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ ?

Pompan skrev:
parveln skrev:
Bra idé, problemet är att sin x går mot 0 då x går mot 0 vilket cos(x) inte gör. Du kan ha nytta av omskrivningen e^(cosx)=e * e^(cosx-1)
Hm. Så för att kunna använda metoden jag ursprungligen använde måste alltså det jag utvecklar gå mot noll när x går mot noll?
Utvecklar du i så fall cosx-1, eller exp(cosx-1)?

Precis din utveckling gäller ju endast nära 0 så dun variabel måste vara nära 0 annars får du felaktiga resttermer. Utveckla först e^t och sätt sedan in utvecklingen för cos(x)-1 istället för t. Du kan stryka alla termer av tillräckligt hög grad. Glöm inte multiplicera med e i slutet.

parveln skrev:
Pompan skrev:
parveln skrev:
Bra idé, problemet är att sin x går mot 0 då x går mot 0 vilket cos(x) inte gör. Du kan ha nytta av omskrivningen e^(cosx)=e * e^(cosx-1)
Hm. Så för att kunna använda metoden jag ursprungligen använde måste alltså det jag utvecklar gå mot noll när x går mot noll?
Utvecklar du i så fall cosx-1, eller exp(cosx-1)?
Precis din utveckling gäller ju endast nära 0 så dun variabel måste vara nära 0 annars får du felaktiga resttermer. Utveckla först e^t och sätt sedan in utvecklingen för cos(x)-1 istället för t. Du kan stryka alla termer av tillräckligt hög grad. Glöm inte multiplicera med e i slutet.

Toppen, nu blev den löst på det sätt jag var ute efter!

$t = \cos x - 1 = - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4}) e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{6} + O (t^{4})$

Men måste fråga en sak om uppställningen av en sån här uppgift, med risk att det blir fråga på fråga:

Sätter man in t i exp (t) blir t²- och t³ -termerna för stora, likaså O(t⁴) - kan man skippa att skriva ut såna termer helt om det är uppenbart?

$e^{t} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4}) + . . . + O ((- \frac{x^{2}}{2} + O (x$ ⁴))4)

$e^{t} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{4})$

Pompan skrev:
Greenberg skrev:
Jag tycker din inledande tanke är bra Pompan och tillsammans med råden nedan borde problemet vara löst
$\cos x = 1 - \frac{x ²}{2} + O (x ⁴) e^{1 - \frac{x ²}{2} + O (x^{4})} = e \cdot e^{- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴)} = e (1 + (- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴))) = e (1 - \frac{x ²}{2}) + O (x ⁴)$
Notera att du inte behöver fortsätta till andra ordningens term vid maclaurinutvecklingen av e^t eftersom du då skulle få termer av ordning fyra för x och dessa bakas ju in i ordonotationen
Tror att jag tänker lite fel bara, men hänger inte med på ditt andra = på andra raden. Har du utvecklat $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ ?

Ja jag skrev lite snabbt där och gjorde maclaurinutvecklingen direkt av $e \cdot e^{- \frac{x ²}{2} + O (x ⁴)}$ . Denna exponent är ju i en nära omgivning av 0 då x är nära 0

När du utvecklar cosx -1 ser du att din lägsta term blir en andragradsterm. Eftersom allt över eller lika med grad 4 ska bli restterm i svaret räcker det därför med att utveckla e^t till första gradens polynom, med någon kort kommentar om det för full poäng på ett prov.

Svara

Visa senaste svar