Maclaurinutveckling

Vad menar du med p_2(x)?

Att $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{2}x$ för x nära 0, följer av att 1 + x/2 är $p_1\left(x\right)$ av $\sqrt{1 + x}$. Så du kommer inte kunna använda det. Utan du har att

$p_2\left(x\right) =\hspace{0.17em}f\left(0\right) + f\text{'}\left(0\right)x + \frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2}{x}^2$

Så det är bara att räkna på. (Man kan använda Newtons binomial sats också).

Den utveckling som Stokastisk hänvisar till är följande. Den är mycket användbar då den täcker in många funktioner (olika parametervärden).

Om du menar Maclaurinutvecklingen upp till grad två vet du alltså att den är av typen

$1+\frac{1}{2}x+ax^2$

Koefficienten a kan du få fram med andraderivatan.

Hej B. N.!

Det hade varit bättre om du skrivit:

Bestäm Maclaurinpolynomet av grad 2 till funktionen $f(x) = \sqrt{1+x}$.

Albiki

Hej!

Maclaurinpolynomet av grad 2 till funktionen $f(x)$ är lika med

    $\displaystyle p_2(x) = a\frac{x^2}{2!} + b\frac{x^1}{1!} + c\frac{x^0}{0!}$

där koefficienterna $a$ och $b$ och $c$ bestäms av funktionen $f(x)$; det ska gälla att

    $p_2(0) = f(0)$

och att derivatorna

    $p_2'(0) = f'(0)$ och $p_2''(0) = f''(0)$.

Eftersom polynomet är sådant att $p_2(0) = c$ och $p_2'(0) = b$ och $p_2''(0) = a$ så ser du att koefficienterna ges av $a = f''(0)$ och $b = f'(0)$ och $c = f(0)$. 

För funktionen $f(x) = \sqrt{1+x}$ är $f(0) = 1$ och derivatorna $f'(0) = 0.5$ och $f''(0) = -0.25$.

Albiki