maclaurinutveckling

Beräkna gränsvärdet

$\lim_{x \to 0} \frac{(x - \sin x) (e^{x^{2}} - 1)}{x^{5}}$

Jag vill maclaurinutveckla sinx och $e^{x^{2}}$

Jag kommer fram till att sinx blir: $\sin x = 0 + x + 0 - \frac{x^{3}}{6} = x - \frac{x^{3}}{6} + r e s t t e r m e n$

Jag förstår inte, hur man bestämmer vilken grad rest termen $B_{1} (x) x^{n}$ ska va? och sen för

$F ö r e^{x^{2}} g ö r j a g v a r i a b e l b y t e x^{2} = t, d å f å r j a g u t v e c k l i n g e n : e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{3!} + r e s t t e r m e n \Rightarrow e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{{(x^{2})}^{2}}{2} + \frac{{(x^{2})}^{3}}{6} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{6} + r e s t t e r m e n$

Men i facit får dem uttrycket för e^x^2 till

Även här förstår jag inte resttermen, dessutom utvecklar dem e^t= 1+ t + resttermen, medans jag fortsatte addera med t^2 och t^3 termerna. Hur vet jag när jag ska sluta, att det hade räckt med 1+t ?

Jag är litet ringrostig här, men eftersom ingen annan svarat så gör jag ett försök.

I nämnaren har du x⁵, så vi struntar i potenser över grad 5 i täljaren. Och jag hoppar över resttermerna, skriver … istället.

x–sinx = x–x+x³/6 – x⁵/120 + … = x³/6 – x⁵/120+…

e^x^{^2} – 1 = 1+x²/1+x⁴/2! + … –1 = x²+x⁴/2+…

Täljaren = x⁵/6 +…

(x⁵/6 + …) / x⁵ går mot 1/6 när x går mot 0.

Du får kolla, hoppas det ger något.

Det finns inget svar på hur långt du skall utveckla.

Utvecklar du för lite så får du 0 när du slår ihop det, utvecklar du för mycket blir det bara onödigt grisigt.

Man får en känsla för det, men kika på termerna så ser du snabbt om du behöver fler. Upp till 3 termer brukar bara bra, ibland kommer man undan med två, men det beror på situationen.

Var är det du inte förstår med resttermen?

Om vi inte har ze så är vår utveckling nonsens eftersom utvecklingarna är en oändlig summa. Vanligt är att man sen går över till Ordo notationen. I ditt fall för sinus är nästa term en x⁵, så du har en restterm på O(x⁵). För e så är din nästa term t², men med t=x² är nästa term x⁴, då har vi O(x⁴).

Är du med?

I denna uppgift är det ganska överskådligt hur långt man ska utveckla.

Nämnaren är x⁵. Det betyder att om täljaren kan skrivas axⁿ +… så går kvoten (när x går mot noll) mot någon oändlighet för n < 5, mot a för n = 5, och mot 0 för n > 5. (a ≠ 0.)

Med axⁿ+… menar jag axⁿ+ O(xⁿ⁺¹)

Svara

Visa senaste svar