maclaurinutveckling

hej, uppgiften lyder
Jag stöter på ett problem när jag ska utveckla $e^{cos(x)}$ , det fungerar inte att utveckla e och stoppa in utvecklingen av cosx i den. Vad jag förstod så blir det problematiskt eftersom cos(0)=1, alternativet var att då istället skriva det som $e^xe^{cos(x)-1}$ men det blir ju inte mindre grisig för det. Finns det en genväg?

Hej,

Täljaren handlar om Taylorutveckling av $e^y$ kring $y=1.$

$e^y=e+e(y-1)+o(y-1).$

Uteckling av cosx vid 0 upp till ordning 4 ger: $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^2}{4!}+o(x)^5$ , stoppar jag in det i utvecklingen av $e^x$ vid 1 får jag $e-\dfrac{ex^2}{2!}+\dfrac{ex^4}{4!}+o(x)^5$ . Var det så jag borde ha resonerat kring $e^{cosx}$ eller måste jag nu också utveckla cosx kring 1?

Edit: Det jag skrivit ovan är fel, jag fick $e^{cosx}$ till $e-\dfrac{ex^2}{2}+\dfrac{ex^4}{6}+o(x)^5$ vilket verkar stämma. Tusen tack Albiki!

Svara