Maclaurinutveckla invers funktion

Nej, hur kom du fram till det? Det finns ingen sluten form för inversen.

Du får använda något samband mellan derivatorna av funktionen och dess invers.

Edit: det kanske räcker med att veta McLaurin-utvecklingen av funktionen oxh sedan ansätta ett polynom av rätt grad. 

Lite bra tips här: https://math.stackexchange.com/questions/249253/second-derivative-of-the-inverse-function

Hej,

Utvecklingen du söker är

    $f^{-1}(y) = f^{-1}(0)+(f^{-1})^{\prime}(0)y+0.5(f^{-1})^{\prime\,\prime}(0)y^2 + o(y^2) \ , \quad y\approx 0.$

Inversa funktionssatsen talar om hur derivatorna ska beräknas.

Albiki skrev:

Hej,

Utvecklingen du söker är

    $f^{-1}(y) = f^{-1}(0)+(f^{-1})^{\prime}(0)y+0.5(f^{-1})^{\prime\,\prime}(0)y^2 + o(y^2) \ , \quad y\approx 0.$

Inversa funktionssatsen talar om hur derivatorna ska beräknas.

Vad är inversa funktionssatsen?

tomast80 skrev:

Lite bra tips här: https://math.stackexchange.com/questions/249253/second-derivative-of-the-inverse-function

Förstår du hur de gör? Skulle du kunna förklara lite

Sätt $g(x)=f^{-1}(x)$

$g(f(x))=x$

$f(x)=\sin 2x+\ln(1+4x)$

$g(f(0))=0$

$f(0)=0+\ln 1=0\Rightarrow$

$g(0)=0$

$g(y)\approx a+by+cy^2$

Enligt länken gäller sedan att:

$g'(x)=\frac{1}{f'(x)}$

$g''(x)=-\frac{f''(x)}{(f'(x))^3}$

Inversa funktionssatsen: https://sv.wikipedia.org/wiki/Inversa_funktionssatsen

tomast80 skrev:

Sätt $g(x)=f^{-1}(x)$

$g(f(x))=x$

$f(x)=\sin 2x+\ln(1+4x)$

$g(f(0))=0$

$f(0)=0+\ln 1=0\Rightarrow$

$g(0)=0$

$g(y)\approx a+by+cy^2$

Enligt länken gäller sedan att:

$g'(x)=\frac{1}{f'(x)}$

$g''(x)=-\frac{f''(x)}{(f'(x))^3}$

Fick det här, varför blir det fel?

Några fel ovan. Börjar med förstaderivatan:

$f'(x)=2\cos 2x+\frac{4}{1+4x}$

$f'(0)=2\cos (2\cdot 0)+\frac{4}{1}=6$

$g'(0)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{6}$

tomast80 skrev:

Några fel ovan. Börjar med förstaderivatan:

$f'(x)=2\cos 2x+\frac{4}{1+4x}$

$f'(0)=2\cos (2\cdot 0)+\frac{4}{1}=6$

$g'(0)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{6}$

får då andraderivatan: -2/9, vilket fortfarande blir fel

Varför blir andraderivatan $\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{(f\text{'}{\left(0\right))}^3} och inte \frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{(f\text{'}{\left(0\right))}^2}$?

Dualitetsförhållandet skrev:

Varför blir andraderivatan $\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{(f\text{'}{\left(0\right))}^3} och inte \frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{(f\text{'}{\left(0\right))}^2}$?

Har du kollat härledningen i länken? Om du påstår att det är formeln till höger, hur har du då härlett/fått fram den?

När jag gör som jag funderade på ovan så får jag först f(x) = 6x - 8x² + o(x³). Med ansatsen f^-1(y) = a + bx + cx² får jag sedan f^-1(y) = y/6 + y²/27 + o(y³).

Jag brukar lösa sånna här med samma metod som laguna. Men ansatsen blir onödigt lång här.

Hej,

Först bestäms värdet $f^{-1}(0)$ via sambandet $0=f(f^{-1}(0))$ till att vara $f^{-1}(0)=0$.

Därefter ger Inversa funktionssatsen derivatan

    $\displaystyle\left(f^{-1}\right)^\prime\left(0\right)=\frac{1}{f^\prime\left(f^{-1}\left(0\right)\right)}=\frac{1}{f^\prime\left(0\right)}=\frac{1}{2+4}=\frac{1}{6}.$

Inversens andraderivata ges av Kedjeregeln.

    $\displaystyle f^{''}\left(f^{-1}\left(0\right)\right)\cdot\left(\left(f^{-1}\right)^{'}\left(0\right)\right)^2+f^{'}\left(f^{-1}\left(0\right)\right)\cdot\left(f^{-1}\right)^{''}\left(0\right)=0$

Med $f^{-1}(0)=0$ och $(f^{-1})'(0)=1/6$ blir den sökta andraderivatan $(f^{-1})^{''}(0)=\frac{2}{27}.$