Maclaurinserier

Man förväntas känna igen Maclaurinserier för elementära funktioner som $e^x$ och $\sin x$ och $\cos x$ och $\ln x$ och $\arctan x$

Om man inte känner igen den underliggande funktionen bakom serien så är det ett svårt problem att identifiera den underliggande funktionen; det enda man vet om funktionen är att den är oändligt många gånger deriverbar i x=0 samt värdet som derivatorna antar i denna punkt, och från denna information ska man dra slutsats om hur funktionen ser ut för alla andra x-värden i funktionens definitionsmängd. 

1/0 ska din hjärna hindra dig från att skriva. Fakulteten av 0 är 1.

Det finns flera fel i bilden du bifogat: $1/0$ är inte 0 (det är inte ens definierat!),  $8/3!$ är inte $4/3$ och vänster led visar fyra termer medan höger led visar fem termer. 

Albiki skrev:

Man förväntas känna igen Maclaurinserier för elementära funktioner som $e^x$ och $\sin x$ och $\cos x$ och $\ln x$ och $\arctan x$

Så om jag typ maclaurinutv de elementära funktionerna så borde jag se ett samband med serien?

Albiki skrev:

Det finns flera fel i bilden du bifogat: $1/0$ är inte 0 (det är inte ens definierat!),  $8/3!$ är inte $4/3$ och vänster led visar fyra termer medan höger led visar fem termer. 

Vad skulle 8/3! vara om inte 8/6=4/3? Däremot är det inte lika med 8/12.

Louiger skrev:

Albiki skrev:

Man förväntas känna igen Maclaurinserier för elementära funktioner som $e^x$ och $\sin x$ och $\cos x$ och $\ln x$ och $\arctan x$

Så om jag typ maclaurinutv de elementära funktionerna så borde jag se ett samband med serien?

Ja.

Smaragdalena skrev:

Albiki skrev:

Det finns flera fel i bilden du bifogat: $1/0$ är inte 0 (det är inte ens definierat!),  $8/3!$ är inte $4/3$ och vänster led visar fyra termer medan höger led visar fem termer. 

Vad skulle 8/3! vara om inte 8/6=4/3? Däremot är det inte lika med 8/12.

Du har helt rätt i att 8/6=4/3. Fel av mig. Matte är svårt ... 

Uppgiften i ursprungsinlägget är ganska enkla om man har lärt dig att känna igen de mest klassiska Maclaurin-utvecklingarna, men innan man har gjort det förstår jag att det kan kännas lite klurigt.

Vi kan börja med att ta 11.30 som exempel. Eftersom det är en enkel täljare och bara $k!$ i nämnaren, och dessutom inget krångel med minustecken så går mina tankar direkt till Maclaurin-utvecklingen för $e^x$. Och mycket riktigt får vi just den här serien om vi soppar in $x=1$, på följande vis:

$e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

$e^1=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\,.$

Här utnyttjade vi att $1^k=1$ för alla heltal $k$.

På precis samma sätt kan vi lösa 11.31 (där det ju är ännu tydligare att vi ska använda $e^x$). Klarar du den själv?

Vi kan fortsätta att ta 11.32(b). Här kan man kanske bli lite förvirrad över 2:an i nämnaren först, men om man ignorerar den och fokuserar på tecken-mönstret och $k$:et i nämnaren borde det ringa en liten $\ln(1+x)$-klocka i huvdet. Och då ser man kanske efter en stunds klurande att 2:an kan förklaras genom att vi har slängt in $x=1/2$, så här:

$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}x^k}k$

$\ln(1+\frac{1}{2})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(\frac{1}{2})^k}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}\frac{1}{2^k}}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2^kk}\,.$

Om man vill skulle man alltså kunna svara att seriens värde är $\ln(1.5)$ eller $\ln(3/2)$.

Tror du att du är med på tänket? I de flesta sådana här uppgifter brukar tricket vara att bara stoppa in något smart värde på $x$, t.ex. 0, 1, -1 eller ett bråk. Ibland måste man dessutom hålla lite koll på vilket index summationen startar på så att det inte fattas en term eller har tillkommit en extra term.

Säg bara till om du har följdfrågor så hjälper vi dig gärna vidare.

oggih skrev:

Uppgiften i ursprungsinlägget är ganska enkla om man har lärt dig att känna igen de mest klassiska Maclaurin-utvecklingarna, men innan man har gjort det förstår jag att det kan kännas lite klurigt.

---

Vi kan börja med att ta 11.30 som exempel. Eftersom det är en enkel täljare och bara $k!$ i nämnaren, och dessutom inget krångel med minustecken så går mina tankar direkt till Maclaurin-utvecklingen för $e^x$. Och mycket riktigt får vi just den här serien om vi soppar in $x=1$, på följande vis:

$e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

$e^1=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\,.$

Här utnyttjade vi att $1^k=1$ för alla heltal $k$.

---

På precis samma sätt kan vi lösa 11.31 (där det ju är ännu tydligare att vi ska använda $e^x$). Klarar du den själv?

---

Vi kan fortsätta att ta 11.32(b). Här kan man kanske bli lite förvirrad över 2:an i nämnaren först, men om man ignorerar den och fokuserar på tecken-mönstret och $k$:et i nämnaren borde det ringa en liten $\ln(1+x)$-klocka i huvdet. Och då ser man kanske efter en stunds klurande att 2:an kan förklaras genom att vi har slängt in $x=1/2$, så här:

$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}x^k}k$

$\ln(1+\frac{1}{2})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(\frac{1}{2})^k}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}\frac{1}{2^k}}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2^kk}\,.$

Om man vill skulle man alltså kunna svara att seriens värde är $\ln(1.5)$ eller $\ln(3/2)$.

---

Tror du att du är med på tänket? I de flesta sådana här uppgifter brukar tricket vara att bara stoppa in något smart värde på $x$, t.ex. 0, 1, -1 eller ett bråk. Ibland måste man dessutom hålla lite koll på vilket index summationen startar på så att det inte fattas en term eller har tillkommit en extra term.

Säg bara till om du har följdfrågor så hjälper vi dig gärna vidare.

Tack för omfattande förklaring! Jag har försökt nu, men blir inte klok på de. Först tyckte jag att jag kanske fått grepp om de och lyckades med 11.31 a) men i 11.31 b) fastnade jag. I 11.31 b) försökte jag genom att maclaurinutv ln(x+1) vilket är suddat då jag inte såg något samband och inte alls förstår hur svaret ska bli pi/4 vilket får mig mer att tänka på arctanx. Jag tänkte ln då det var positivt och neg varannan. c) är samma dilemma, jag tänker ln(1+x) pga pos/ner men pi ställer till det för mig.

I b är det första indexet k=1. Vad händer om du byter det mot k=0? Angående c) borde du känna igen nämnaren om du kollar i en tabell över maclaurinutvecklingar.

Louiger skrev:

oggih skrev:

Uppgiften i ursprungsinlägget är ganska enkla om man har lärt dig att känna igen de mest klassiska Maclaurin-utvecklingarna, men innan man har gjort det förstår jag att det kan kännas lite klurigt.

---

Vi kan börja med att ta 11.30 som exempel. Eftersom det är en enkel täljare och bara $k!$ i nämnaren, och dessutom inget krångel med minustecken så går mina tankar direkt till Maclaurin-utvecklingen för $e^x$. Och mycket riktigt får vi just den här serien om vi soppar in $x=1$, på följande vis:

$e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

$e^1=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\,.$

Här utnyttjade vi att $1^k=1$ för alla heltal $k$.

---

På precis samma sätt kan vi lösa 11.31 (där det ju är ännu tydligare att vi ska använda $e^x$). Klarar du den själv?

---

Vi kan fortsätta att ta 11.32(b). Här kan man kanske bli lite förvirrad över 2:an i nämnaren först, men om man ignorerar den och fokuserar på tecken-mönstret och $k$:et i nämnaren borde det ringa en liten $\ln(1+x)$-klocka i huvdet. Och då ser man kanske efter en stunds klurande att 2:an kan förklaras genom att vi har slängt in $x=1/2$, så här:

$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}x^k}k$

$\ln(1+\frac{1}{2})=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(\frac{1}{2})^k}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}\frac{1}{2^k}}{k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2^kk}\,.$

Om man vill skulle man alltså kunna svara att seriens värde är $\ln(1.5)$ eller $\ln(3/2)$.

---

Tror du att du är med på tänket? I de flesta sådana här uppgifter brukar tricket vara att bara stoppa in något smart värde på $x$, t.ex. 0, 1, -1 eller ett bråk. Ibland måste man dessutom hålla lite koll på vilket index summationen startar på så att det inte fattas en term eller har tillkommit en extra term.

Säg bara till om du har följdfrågor så hjälper vi dig gärna vidare.

Tack för omfattande förklaring! Jag har försökt nu, men blir inte klok på de. Först tyckte jag att jag kanske fått grepp om de och lyckades med 11.31 a) men i 11.31 b) fastnade jag. I 11.31 b) försökte jag genom att maclaurinutv ln(x+1) vilket är suddat då jag inte såg något samband och inte alls förstår hur svaret ska bli pi/4 vilket får mig mer att tänka på arctanx. Jag tänkte ln då det var positivt och neg varannan. c) är samma dilemma, jag tänker ln(1+x) pga pos/ner men pi ställer till det för mig.

Hittade tillsist svaren på b) och c) 

Jag behövde maclaurinutv arctanx längre än jag gjort för att se det, då blev det uppenbart! Sen var det samma för cosx bortsett från att jag inte sett att potenserna inte 1,2,3.. utan 0,2,4.. när jag såg det blev det också enklare. Kanske går det att fatta detta ändå :-)

parveln skrev:

I b är det första indexet k=1. Vad händer om du byter det mot k=0? Angående c) borde du känna igen nämnaren om du kollar i en tabell över maclaurinutvecklingar.

På tenta har jag ingen nytta av att kunna jämföra med en tabell jag ändå inte kommer komma ihåg och inte får använda. Måste förstå hur det fungerar då kan jag använda kunskapen på tentan. 

Louiger skrev:

parveln skrev:

I b är det första indexet k=1. Vad händer om du byter det mot k=0? Angående c) borde du känna igen nämnaren om du kollar i en tabell över maclaurinutvecklingar.

På tenta har jag ingen nytta av att kunna jämföra med en tabell jag ändå inte kommer komma ihåg och inte får använda. Måste förstå hur det fungerar då kan jag använda kunskapen på tentan. 

Om du inte får ha med tabell på tentan bör du lära dig de vanliga utvecklingarna utantill och känna igen den från ditt minne. Alternativt vara väldigt snabb med att derivera så du kan få fram utvecklingarna med definitionen.

Louiger skrev:

Hittade tillsist svaren på b) och c) Jag behövde maclaurinutv arctanx längre än jag gjort för att se det, då blev det uppenbart! Sen var det samma för cosx bortsett från att jag inte sett att potenserna inte 1,2,3.. utan 0,2,4.. när jag såg det blev det också enklare. Kanske går det att fatta detta ändå :-)

Snyggt jobbat! Klarar du de andra också? Annars är det bara att säga till.

oggih skrev:

Louiger skrev:

Hittade tillsist svaren på b) och c) Jag behövde maclaurinutv arctanx längre än jag gjort för att se det, då blev det uppenbart! Sen var det samma för cosx bortsett från att jag inte sett att potenserna inte 1,2,3.. utan 0,2,4.. när jag såg det blev det också enklare. Kanske går det att fatta detta ändå :-)

Snyggt jobbat! Klarar du de andra också? Annars är det bara att säga till.

Har fastnat på denna (se bild) kan inte se sambandet. Tänkte först att det skulle vara något i stil med e^(-x) eller ln(x+1) då det var positivt och negativt omväxlande, men har provat utan framgång. Svaret är ln2

Passar inte ln(x+1) bra då när x = 1?

Laguna skrev:

Passar inte ln(x+1) bra då när x = 1?

Jo 🙈 tack!