Maclaurinserier

Hejsan!

Jag ska bestämma alla lösningar i potensserieform till diff.ekvationen $y^{''} - y = x$ med villkoren

$y = 1 o c h y^{'} = 0 f ö r x = 0$ , samt ange seriens konvergensradie. Jag behöver veta hur och varför man gör vissa saker här.

Såhär har jag försökt:

$y = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} x^{k} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + . . . y^{'} = \sum_{k = 1}^{\infty} k c_{k} x^{k - 1} = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + . . . y^{''} = \sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) c_{k} x^{k - 2} = 2 c_{2} + 6 c_{3} x + 12 c_{4} x^{3} + . . . S å) y^{''} - y = \sum_{k = 2}^{\infty} (k (k - 1) c_{k} x^{k - 2}) - \sum_{k = 0}^{\infty} (c_{k} x^{k}) = = (2 c_{2} - c_{0}) + (6 c_{3} - c_{1}) x + \sum_{k = 0}^{\infty} ((k + 2) (k + 1) c_{k + 2} - c_{k}) x^{k} = x D ä r c_{2} = \frac{c_{0}}{2}, c_{3} = \frac{c_{1}}{6} R e k u r s i o n s f o r m e \ln : c_{k + 2} = \frac{c_{k}}{(k + 2) (k + 1)}$

Nu har jag inte en aning om vad jag göra med denna?

Hej!

Randvillkoren $y(0)=1$ och $y'(0)=0$ talar om för dig att koefficienterna $c_0=1$ och $c_1=0$ , vilket medför att $c_2=0.5$ och $c_3=0$ .

Rekursionsformeln talar sedan om för dig att koefficienterna med udda index alla är lika med noll, vilket betyder att funktionen $y$ är en jämn funktion. Exakt hur den ser ut får du veta genom att beräkna koefficienterna med jämna index och jämföra potensserien med någon känd serie (kanske en geometrisk serie).

Ett sätt att kontrollera lösningen är att lösa uppgiften på vanligt sätt:

$y = y_h + y_p$

och sedan MacLaurin-utveckla $y_h$ samt använda startvillkoren för att entydigt bestämma $y_h$ . Blir ganska enkelt och smidigt.

Svara