Maclaurinserie

Jag har en fråga kring ett lösningsförslag vi fått på denna uppgift.

Första fråga: Som man ser här delas funktionen först upp i x/2 gånger en känd maclaurinserie. Sedan gångras x/2 helt obekymrat in till varje term i serien. Kan man göra så? Behöver inte x/2 och göras om till en serie och sorteras term för term?

Andra frågan. I och med att x/2 adderats till serien så har x i varje term nu blivit en potens högre. Om man letar upp den term som innehåller x^21 har man verkligen letat upp den term som motsvar 21-derivatan eller har man egentligen letat upp den som motsvarar 20:e derivatan?

Säg att du har lyckats hitta två utvecklingar av en funktion f giltiga i någon omgivning till x = 0.

$f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{n} + O (x^{n + 1})$

$f (x) = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} x^{n} + O (x^{n + 1})$

I så fall måste de två utvecklingarna med nödvändighet vara identiska.

Dvs a_k = b_k, för alla k. Visa detta.

Det betyder att om du hittat en utveckling upp till någon viss grad n så är detta med nödvändighet lika med Maclaurinutvecklingen upp till grad n, givet att den finns förstås.

Svara