Maclaurinserie

Skriv om funktionen på formen:

$\frac{1}{3+x}=$

$\frac{1}{3}·\frac{1}{1+\frac{x}{3}}$

Aha! Blir det då 1 -( $\frac{1}{3}\times \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{3}}}$) + $(\frac{1}{3}\times \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{3}}}{)}^2$ ...osv? Eller tänker jag fel nu? 

mois98 skrev:

Aha! Blir det då 1 -( $\frac{1}{3}\times \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{3}}}$) + $(\frac{1}{3}\times \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{3}}}{)}^2$ ...osv? Eller tänker jag fel nu? 

 Det blev fel. Sätt $t=\frac{x}{3}$ så ser du nog hur formeln blir..

$\frac{1}{3}·(1-t+t^2-...)=...$

Ah okej tack, jag förstår men är fortfarande fundersam. 

Jag tar alltså $\frac{1}{3}\times (1-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{9}-\frac{x^3}{27}+\frac{x^4}{81}....)$ osv för att räkna ut tex 10e derivatan? Det svaret blir ju väldigt långt, för går ju inte riktigt att få ut något förkortat svar? 

Försökt kolla videos, läsa osv om Maclaurinserier men blir inte klokare hehe. 

Ska du räkna ut tiondederivatan i punkten x = 0, eller som uttryck för alla x?

I punkten x=0! 

Då är det ju lätt! McLaurin-utvecklingen består ju av termer med var sin derivata i x=0, så det är bara att identifiera rätt potens av x och ta ut koefficienten.

Alternativt, om man har glömt hur McLaurin-utvecklingen fungerar kan man derivera tio gånger, och då blir man av med allt före x^10-termen, och sedan sätta x = 0 och då blir man av med allt som fortfarande har x i sig, så man behöver aldrig skriva ner alla dessa termer.

Hej!

Maclaurinutvecklingen till funktionen $f(x) = 1/(1+x)$ är lika med

    $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = f(0) + f'(0)x + 0.5f''(0)x^2 + ...$.

Funktionen $g(x) = 1/(3+x)$ kan skrivas med hjälp av funktionen $f$ som

    $g(x) = \frac{1}{3} \cdot f(x/3)$

så att Maclaurinutvecklingen till funktionen $g$ blir via Kedjeregeln 

    $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k = \frac{1}{3} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1/3)^{k}f^{(k)}(0)}{k!}x^k$.

En jämförelse av koefficienter visar att derivatan

    $g^{(k)}(0) = (1/3)^{k+1} \cdot f^{(k)}(0)$.