Maclaurinpolynome
Hej jag skulle behöva hjälp med denna: Besäm Maclaurinpolynomet av ordning 5 till
g(x) = cos(x) + arctan(x).
Jag vet att man först ska ta för cos(x) och arctan(x) och att det då blir
cos(x) =
arctan(x) =
och sedan slå ihop dem:
Jag förstår inte riktigt varför det blir O(x6) och O(x7) och vad menas med ordningen till 5?
Att du skall utveckla till ordning fem betyder att du skall utveckla till term 5. Det blir tydligare om du kollar på definitionen av maclaurin/Taylor.
Stora O, som kallas för ordo, men även big O notation är en restterm. Utvecklingen är oändlig, och att påstå att cos(x) = (utveckling till ordning n här) är fel. Ordo tar hand om resttermerna.
Du kan om du vill skriva ... istället, som anger att utvecklingen forsätter på samma vis.
Läs gärna detta om Ordo: https://sv.wikipedia.org/wiki/Ordo
Okej men varför blir det just O(x6) och O(x7) alltså varför är det just upphöjt till 6 och 7? är det bara för att ordningen är fem?
Att utveckla till ordning fem är att utveckla till -termen. Du har alltså approximerat cos(x) upp till ordning 5, men utvecklingen tar ju inte slut där. Den fortsätter oändligt långt, varav du måste ange en restterm vilket är O(x^6). Länken ovan ger dig en inblick av vad exakt O(x^6) betyder. Kort och gott så tar O(x^6) hand om alla de oändliga termerna du inte tagit med i din utveckling.
Om du struntar i Ordo så blir ditt svar felaktigt. Detta eftersom ju fler termer du approximerar, ju mindre felmarginal har du. Kolla tillbaka till definitionen av Taylor så forstår du nog. Glöm inte att vi matchar derivatorna. Din approximerade funktion stämmer alltså endast nära 0, men har stora felmarginal när du rör dig längre ifrån punkten x=0. Notera att Maclaurin bara är ett specialfall av Taylor kring x=0.
Du kan se det som att Cos(x)-(din utveckling) = ordo(x^n)
Okej då förstår jag. Hade det spelat någon roll om jag hade satt O(x7) och O(x8) istället?
Ja, det spelar roll i detta fallet då x^6 termen inte är noll i cos(x). Du hade alltså missat en term.
