Maclaurinpolynom/felet tentafråga

Du har fått de första termerna rätt, men du missar att $2x\cdot (-\frac{x^3}{6})$ ger en $x^4$ term. Dock ingår $x^4$-termen inte i det som efterfrågas. Frågan bad dig bara utveckla till grad 3.

Maclaurins formel med Lagrange restterm ges av

$\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}\left(0\right)}{k!}x^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ där $0<\theta<1$. Andra formuleringar kan förekomma. Slå upp avsnittet i din lärobok och använd de definitioner ni lärt er.

Din uppgift är att visa att den sista termen (resttermen) aldrig kan bli större än det givna felet när $x$ hör till intervallet $-0.1<>$ samtidigt som $\theta$ väljs maximalt olyckligt (dvs så absolutbeloppet av felet blir så stort som möjligt)

D4NIEL skrev:

Du har fått de första termerna rätt, men du missar att $2x\cdot (-\frac{x^3}{6})$ ger en $x^4$ term. Dock ingår $x^4$-termen inte i det som efterfrågas. Frågan bad dig bara utveckla till grad 3.

Maclaurins formel med Lagrange restterm ges av

$\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}\left(0\right)}{k!}x^k+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ där $0<\theta<1$. Andra formuleringar kan förekomma. Slå upp avsnittet i din lärobok och använd de definitioner ni lärt er.

Din uppgift är att visa att den sista termen (resttermen) aldrig kan bli större än det givna felet när $x$ hör till intervallet $-0.1<>$ samtidigt som $\theta$ väljs maximalt olyckligt (dvs så absolutbeloppet av felet blir så stort som möjligt)

Du får kolla om rad 4. Jag har faktiskt med -2x^4/6. Men den tog jag ej med sen då de efterfrågar upp till grad 3

Har du med x⁴4-termen i din restterm, där den borde vara?

Smaragdalena skrev:

Har du med x⁴4-termen i din restterm, där den borde vara?

Nu hänger jag ej med. Om du syftar på sinx utvecklingen så har jag ej med någon x^4 term men när vi multiplicerar (2x-1) med utvecklingen av sinx så får vi det jag skrivit upp på bilden. Fjärde derivatan av sinx är ju 0? Då går jag vidare till femtederivatan av sinx. Jag förstår ej vad ni menar saknas här. Den andra frågan om att undersöka felet  har jag ej besvarat ännu då vi snackar om maclaurin polynom justnu.

Här

Jag tycker alltså att du ska uttrycka utvecklingen $\frac{x^3}{6}+2x^2-x+\mathcal{O}(x^4)$ på något sätt så det framgår att sista termen är ordo $x^4$ eller åtminstone indikera varför du slopat den när du har med $x^5$-delar. Nästa steg är att ta fram den sista termen (feltermen) explicit. Med min notation blir det

$\frac{f^{(4)}\left(\theta x\right)}{4!}x^4$ där $0<\theta<1$

D4NIEL skrev:

Här

Jag tycker alltså att du ska uttrycka utvecklingen $\frac{x^3}{6}+2x^2-x+\mathcal{O}(x^4)$ på något sätt så det framgår att sista termen är ordo $x^4$ eller åtminstone indikera varför du slopat den när du har med $x^5$-delar. Nästa steg är att ta fram den sista termen (feltermen) explicit. Med min notation blir det

$\frac{f^{(4)}\left(\theta x\right)}{4!}x^4$ där $0<\theta<1$

Facit skrev maclarurinpolynomet som du skrev fast utan O(x^4). Jag vet ej hur viktigt det är att jag svarar som facit eller som du gör. Vad är det jag ska motivera menar du?

När du skriver som du gör antyder du att resten av serien är $\mathcal{O}(x^5)$, men det är fel och feluppskattningen kommer vara för optimistisk.

Du måste alltså motivera varför $x^4$ försvinner trots att du ändå har med en $x^5$-term i ditt svar. Ett bättre alternativ är att ange att restsumman är ordo 4.

I nästa steg ska du visa att Lagranges  restterm $|H(x)|<5\cdot 10^{-5}$ på intervallet, även då $\theta$ väljs maximalt olyckligt. Notera att $H(x)$ kommer vara ordo 4.

D4NIEL skrev:

När du skriver som du gör antyder du att resten av serien är $\mathcal{O}(x^5)$, men det är fel och feluppskattningen kommer vara för optimistisk.

Du måste alltså motivera varför $x^4$ försvinner trots att du ändå har med en $x^5$-term i ditt svar. Ett bättre alternativ är att ange att restsumman är ordo 4.

I nästa steg visar du slutligen att Lagrange felterm $|H(x)|<5\cdot 10^{-5}$ på intervallet, även då $\theta$ väljs maximalt olyckligt.

Notera att $H(x)$ kommer vara ordo 4.

Så man bör skriva bara ordo(x^4) på slutet som motivering? Jag förstår ej hur jag ska göra med lagrange termen. Ser detta rätt ut? 

Du är på rätt väg, men du får inte anta att maxvärdet inträffar då $x=0$. Du behöver föra ett resonemang om uttrycket.

Om alla termer i fjärdederivatan "samverkar" och har ett maximalt negativt värde ($|\cos(x)|_{max}=|\sin(x)|_{max}=1$) får vi

$|-8\cos(\theta x)+2\theta x\sin(\theta x)-sin(\theta x)|<|-8-2-1|=11$

Vi skulle kunna förfina gränsen ännu mer genom att utnyttja att $x$ är väldigt litet i $2\theta x\sin(\theta x)-\sin(\theta x)$, och att termerna har olika tecken och då hamnar vi väldigt nära 8. Men det  behövs inte.

D4NIEL skrev:

Du är på rätt väg, men du får inte anta att maxvärdet inträffar då $x=0$. Du behöver föra ett resonemang om uttrycket.

Om alla termer i fjärdederivatan "samverkar" och har ett maximalt negativt värde ($|\cos(x)|_{max}=|\sin(x)|_{max}=1$) får vi

$|-8\cos(\theta x)+2\theta x\sin(\theta x)-sin(\theta x)|<|-8-2-1|=11$

Vi skulle kunna förfina gränsen ännu mer genom att utnyttja att $x$ är väldigt litet i $2\theta x\sin(\theta x)-\sin(\theta x)$, och att termerna har olika tecken och då hamnar vi väldigt nära 8. Men det  behövs inte.

Jaha okej men sen då? Om theta är max 1 då sin och cos kan maximalt vara 1  så får man |-11x^4/120|<10^-4/2. Vi behöver ju titta mellan -0.1<x<0.1.

Ja, termen $x^4$ är maximal i ändpunkterna, t.ex $x=-0.1$ eller $x=0.1$ då blir

$|x^4|=x^4=0.0001$

Vad får du för uppskattning om du sätter ihop allt nu? Blir den mindre än det maximalt tillåtna $\frac{10^{-4}}{2}$?