Maclaurinpolynom

Det är väl precis det de har gjort, men hoppat över ditt mellansteg?! Eller är det något annat du frågar om?

Ett annat sätt att få fram koefficienterna är att beräkna derivatorna av ordning 1, 2, etc.

Smaragdalena skrev:

Det är väl precis det de har gjort, men hoppat över ditt mellansteg?! Eller är det något annat du frågar om?

Det jag inte är med på är vad $x^{3+}{x}^4$som tillhör resttermerna kommer från i mellansteget och varför det istället inte är $x^4+x^5$som det är i parenteserna i början.

Ett alternativ annars är väl att utveckla det enligt:

$e^x\sin x=\Im (e^{x(1+i)})$

Har du skrivit av facit rätt? På första raden står det att koefficienten för x³-termen är 1/2-1/6=1/3, men på nästa rad har du skrivit x³/2.

Resttermen x⁴B₃(x) innehåller alla termer av grad 4 och högre.

Hej!

Om du multiplicerar ett polynom av grad $2$ med ett polynom av grad $1$ får du ett polynom av grad $3$. Det räcker därför att ta fram Maclaurinpolynom för $e^x$ av grad $2$ och Maclaurinpolynom för $\sin x$ av grad $2$ för att få ett Maclaurinpolynom för $e^x\sin x$ av grad $3$; man väljer grad 2 för $\sin x$ för att produkten ska få en restterm som är av litet ordo $x^2$.

    $\displaystyle\{1+x+0.5x^2 + o_1(x^2)\}\cdot\{x-x^3/6+o_2(x^2)\} =x-x^3/6+o_2(x^2)+x^2-x^4/6+xo_2(x^2)+0.5x^3-0.5x^5/6+0.5x^2x_2(x^2)+xo_1(x^2)-(x^3/6)o_1(x^2)+o_1(x^2)o_2(x^2).$

Det gäller att $x^po(x^n) = o(x^{p+n})$ och $o(x^n)+o(x^{n+m})=o(x^n)$ varför de olika lilla-ordo-termerna alla är av lilla ordo $x^2$. Samla ihop termer av samma gradtal för att få

    $\displaystyle x+x^2+(1/2-1/6)x^3+o(x^2) = x+x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^2).$ 

Albiki skrev:

Hej!

Om du multiplicerar ett polynom av grad $2$ med ett polynom av grad $1$ får du ett polynom av grad $3$. Det räcker därför att ta fram Maclaurinpolynom för $e^x$ av grad $2$ och Maclaurinpolynom för $\sin x$ av grad $2$ för att få ett Maclaurinpolynom för $e^x\sin x$ av grad $3$; man väljer grad 2 för $\sin x$ för att produkten ska få en restterm som är av litet ordo $x^2$.

    $\displaystyle\{1+x+0.5x^2 + o_1(x^2)\}\cdot\{x-x^3/6+o_2(x^2)\} =x-x^3/6+o_2(x^2)+x^2-x^4/6+xo_2(x^2)+0.5x^3-0.5x^5/6+0.5x^2x_2(x^2)+xo_1(x^2)-(x^3/6)o_1(x^2)+o_1(x^2)o_2(x^2).$

Det gäller att $x^po(x^n) = o(x^{p+n})$ och $o(x^n)+o(x^{n+m})=o(x^n)$ varför de olika lilla-ordo-termerna alla är av lilla ordo $x^2$. Samla ihop termer av samma gradtal för att få

    $\displaystyle x+x^2+(1/2-1/6)x^3+o(x^2) = x+x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^2).$ 

Tack så jättemycket för utförlig förklaring!