Maclauringutveckling

Mina tankar är att du ska räkna ut maclaurinpolynomet enligt dess definition. Håller med att derivatorna kan bli lite ”köttiga”. Trösten är ju att det är i x=0, så det blir kanske hanterligt i slutändan?

JohanF skrev:

Mina tankar är att du ska räkna ut maclaurinpolynomet enligt dess definition. Håller med att derivatorna kan bli lite ”köttiga”. Trösten är ju att det är i x=0, så det blir kanske hanterligt i slutändan?

I boken tipsar dom om att man kan utveckla $e^t$ och sedan ersätta t med  $x^2$då båda går mot 0. Då skulle man få följande derivator:

Ersätter man då t med $x^2$får man ju samma resultat. Dock stämmer de koefficienterna inte in med facit.

desktopgoose skrev:

JohanF skrev:

Mina tankar är att du ska räkna ut maclaurinpolynomet enligt dess definition. Håller med att derivatorna kan bli lite ”köttiga”. Trösten är ju att det är i x=0, så det blir kanske hanterligt i slutändan?

I boken tipsar dom om att man kan utveckla $e^t$ och sedan ersätta t med  $x^2$då båda går mot 0. Då skulle man få följande derivator:

Ersätter man då t med $x^2$får man ju samma resultat. Dock stämmer de koefficienterna inte in med facit.

Intressant! Stämmer koefficienterna inte heller om man råräknar?

om man gör en variabelsubstitution, kommer inte dt/dx=2 in i bilden någonstans också...
 

desktopgoose skrev:

JohanF skrev:

Mina tankar är att du ska räkna ut maclaurinpolynomet enligt dess definition. Håller med att derivatorna kan bli lite ”köttiga”. Trösten är ju att det är i x=0, så det blir kanske hanterligt i slutändan?

I boken tipsar dom om att man kan utveckla $e^t$ och sedan ersätta t med  $x^2$då båda går mot 0. Då skulle man få följande derivator:

Ersätter man då t med $x^2$får man ju samma resultat. Dock stämmer de koefficienterna inte in med facit.

Går båda mot noll? Derivatan av e^(x^2) är 2xe^(x^2) som går är noll vid x=0, men om du har f(x)=e^x så går derivatan mot 1. Ser inte hur man bara kan ersätta.

woozah skrev:

desktopgoose skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

Mina tankar är att du ska räkna ut maclaurinpolynomet enligt dess definition. Håller med att derivatorna kan bli lite ”köttiga”. Trösten är ju att det är i x=0, så det blir kanske hanterligt i slutändan?

I boken tipsar dom om att man kan utveckla $e^t$ och sedan ersätta t med  $x^2$då båda går mot 0. Då skulle man få följande derivator:

Ersätter man då t med $x^2$får man ju samma resultat. Dock stämmer de koefficienterna inte in med facit.

 

Går båda mot noll? Derivatan av e^(x^2) är 2xe^(x^2) som går är noll vid x=0, men om du har f(x)=e^x så går derivatan mot 1. Ser inte hur man bara kan ersätta.

Facit säger $1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{24}{x}^4+x^{6}B\left(x\right)$

Jag citerar även bokens tips

Utveckla $e^t$ lagom långt och ersätt t med $x^2$. Utveckla cosx lagom långt. Multiplicera ihop de båda utvecklingarna och samla alla termer som innehåller faktorn $x^6$ i en restterm $x^{6}B\left(x\right)$.

Jaha, du menar att du serieutvecklar $e^x$ och sedan inser att du bara sätter in $x^2$ på $x$ ställe. Det fungerar. Sedan måste du utveckla $cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ och då har du bara multiplikation av $(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...)(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+...)=?$ kvar.

woozah skrev:

Jaha, du menar att du serieutvecklar $e^x$ och sedan inser att du bara sätter in $x^2$ på $x$ ställe. Det fungerar. Sedan måste du utveckla $cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ och då har du bara multiplikation av $(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...)(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+...)=?$ kvar.

Yes. Men vidare vet jag inte hur långt jag ska utveckla respektive för att få ett fjärde ordningens polynom som matchar det som står i facit.

Alternativt så utvecklar man:

$e^{x^2+ix}$ och tar sedan:

$\Re (e^{x^2+ix})=\Re (...)$

desktopgoose skrev:

woozah skrev:

Jaha, du menar att du serieutvecklar $e^x$ och sedan inser att du bara sätter in $x^2$ på $x$ ställe. Det fungerar. Sedan måste du utveckla $cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ och då har du bara multiplikation av $(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...)(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+...)=?$ kvar.

Yes. Men vidare vet jag inte hur långt jag ska utveckla respektive för att få ett fjärde ordningens polynom som matchar det som står i facit.

Du får $x^4(1/(2!)+1/(4!)-1/2)=\frac{x^4}{24}$ som stämmer.