Maclaurin utvecklingar... igen (extremvärdes undersökningar)

Accepterar du att man tydligen tidigare har bevisat att resttermen är begränsad? Det är den viktiga delen för beviset. Om B(x) är begränsad, så ÄR 1-½xB(x) tillräckligt nära 1 om man har valt x tillräckligt nära 0. Vill man ha ett ännu mindre värde väljer man ett värde på x som är ännu mindre.

Hej HaCurry,

Funktionen $B(x)$ kan ha stora värden när talet $x$ ligger nära 0, men inte hur stora som helst; det positiva talet $|B(x)|$ är aldrig större än talet $M$, som är en övre begränsning till funktionen $B$.

För extremvärdesundersökningen är det produkten $x \cdot B(x)$ som är intressant, där talet $x$ är nära noll; det går att få produkten hur liten som helst om man bara ser till att $x$ ligger tillräckligt nära 0; vill du att produkten ska vara mindre än $0.01$ ska du välja $|x| < 0.01/M.$

Jag hänger med på att B(x) är en begränsad funktion, verkar ändå som att jag inte förstår varför egenskaperna på extrempunkten inte kan ändras.

I båda eras resonemang verkar nyckelordet vara att $xB\left(x\right)$kan vara hur liten som helst eller konvergerar mot något tal och jag försöker förstå hur det går ihop med att egenskapen av extrempunkten inte förändras, skulle ni kunna förklara den delen?

Definitionen av ett strängt lokalt maximum i $x_0$ är att det finns ett tal ε > 0 sådant att för alla x skilda från $x_0$ i ($x_0$-ε, $x_0$ + ε) så gäller det att $f\left(x_0\right) >f\left(x\right)$. Eftersom B(x) är begränsad i någon omgivning av 0, och x går mot 0 kommer 1 - $\frac{1}{2}$$xB\left(x\right)$ konvergera mot 1. Därmed finns det ett $\epsilon >0$sådant att $1-\frac{1}{2}xB\left(x\right)$är strängt positiv i hela $(-\epsilon ,\epsilon )$. Därmed kommer g(x) vara strikt mindre än 0 om x inte är 0, men tillhör omgivniningen (-ε,ε). Alltså måste vi ha ett strängt lokalt maximum i x = 0.

Hej,

Om talet $x$ ligger tillräckligt nära $0$ så kommer uttrycket $1-\frac{1}{2}x\cdot B(x)$ att vara ett positivt tal; notera att om $x$ ligger långt från $0$ så kommer uttrycket $1-\frac{1}{2}x\cdot B(x)$ att vara ett negativt tal, vilket förstör resonemanget för oss.

Talet $-2x^4$ är alltid negativt, så om $x$ ligger tillräckligt nära 0 så kommer uttrycket $-2x^4\cdot \left(1-\frac{1}{2}x\cdot B(x)\right)$ att vara negativt, eftersom Negativt gånger Positivt är lika med Negativt; med andra ord $g(x) < 0$ om $x$ är tillräckligt nära 0.

Eftersom $0=g(0)$ så har du visat att $g(x) < g(0)$ om $x$ är tillräckligt nära 0, vilket betyder att $g(x)$ har ett lokalt maximum när $x=0$; notera att vi säger lokalt eftersom vi kräver att $x$ ska vara tillräckligt nära 0.

parveln skrev:

Definitionen av ett strängt lokalt maximum i $x_0$ är att det finns ett tal ε > 0 sådant att för alla x skilda från $x_0$ i ($x_0$-ε, $x_0$ + ε) så gäller det att $f\left(x_0\right) >f\left(x\right)$. Eftersom B(x) är begränsad i någon omgivning av 0, och x går mot 0 kommer 1 - $\frac{1}{2}$$xB\left(x\right)$ konvergera mot 1. Därmed finns det ett $\epsilon >0$sådant att $1-\frac{1}{2}xB\left(x\right)$är strängt positiv i hela $(-\epsilon ,\epsilon )$. Därmed kommer g(x) vara strikt mindre än 0 om x inte är 0, men tillhör omgivniningen (-ε,ε). Alltså måste vi ha ett strängt lokalt maximum i x = 0.

Precis det jag letade efter, tack!