Maclaurin restterm

Om man visat satsen om resttermen räcker det väl att bara använda den för funktionen $f(x) =e^x+e^{-x}$. Man behöver bara kolla att $f$ uppfyller villkoren för satsen.

Jag förstår inte riktigt. Kan man inte resonera som mig och addera maclaurinpolynomen?

Man kan resonera som du gjort, men då får du två resttermer med olika punkter a och b, d.v.s. en restterm för funktionen $e^x$ och en restterm för $e^{-x}$.

Eller så kan du göra som Gustor föreslagit och beräkna $f^{(n+1)}(a) / (n+1)!$ för hela funktionen $f(x)=e^x + e^{-x}$.

Här på 11,10 är det mitt exempel. Lösningen på frågan är från tekniskfysik.se. Här har han samma theta på båda termerna. 

Jag förstår att om man använder er metod blir det så, men i lösningsförlslaget använder han mitt tillvägagångssätt och får samma theta. Det är väl inte självklart?

Då har de gjort något annat än vad du antytt i första inlägget.

De har utvecklat funktionen $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{e^{\theta x}}{24} x^4$.

De har sedan återanvänt denna utveckling genom att sätta in $-x$ i den.

Bortse från detta inlägg. Jag får fundera lite till.

Okej, och det var därför jag var inne på om samma sak gäller summan av e^x och sin x? För där kan man ju inte sätta in den ena i den andras utveckling?

LuMa07 skrev:

Då har de gjort något annat än vad du antytt i första inlägget.

De har utvecklat funktionen $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{e^{\theta x}}{24} x^4$.

De har sedan återanvänt denna utveckling genom att sätta in $-x$ i den.

Bortse från detta inlägg. Jag får fundera lite till.

De gjorde fel (och jag lurades i förra inlägget). Det borde ha varit olika värden på $\theta$ eftersom $\theta$ beror på punkten där värdet av exponentialfunktionen ska beräknas.

T.ex. på miniräknaren/datorn kan man kontrollera att:

• $e^{0.1} = 1+0.1 + \frac{0.1^2}{2}+\frac{0.1^3}{6} + \frac{e^{0.2013 \cdot 0.1} \cdot 0.1^4}{24}$, d.v.s. $\theta \approx 0.2013$ här
• $e^{-0.1} = 1+\left(-0.1\right) + \frac{(-0.1)^2}{2}+\frac{(-0.1)^3}{6} + \frac{e^{0.1987 \cdot (-0.1)} \cdot (-0.1)^4}{24}$, d.v.s. $\theta \approx 0.1987$ här

Men om man använder er metod med att maclaurinutveckla summan direkt beror ju resttermem på endast en konstant. Borde inte det bli samma resultat oavsett hur man gör? Jag ska erkänna att jag är lite förvirrad.

Det är inte helt fel, men vilseledande. I varje fall har man ett annat värde för theta.

Där de skriver upp e^x + e^-x borde de skriva theta₁ och theta₂, men ojämlikheten gäller för vilken theta som helst (sannoliktvis en tredje theta) mellan 0 och 1.

Anto skrev:

Men om man använder er metod med att maclaurinutveckla summan direkt beror ju resttermem på endast en konstant. Borde inte det bli samma resultat oavsett hur man gör? Jag ska erkänna att jag är lite förvirrad.

Resultatet är samma oavsett hur man gör, men beror på själva funktionen och de här 3 (e^x, e^-x, e^x + e^-x) är inte samma funktion.

När man utvecklar själva $e^x$ så får man något värde på $\theta_1$

När man utvecklar själva $e^{-x}$ så får man något annat värde på $\theta_2$

När man utvecklar summan $e^x + e^{-x}$ som Gustor föreslagit i #2, så får man ett gemensamt $\theta$ som inte behöver vara lika med $\theta_1$ eller $\theta_2$.

Okej. Så om vi nu övergår till uppgiften i 11.10 där man ska visa att 

| e^x + e^-x -2 - x² | <= x⁴/6

Som (som även lösningsförslaget ovan visar) förenklas uppgiften till att visa att 

| e^a + e^-b| /24 <= 1/24 där a och b är mellan 0 och x där 

-1 <= x <= 1.

Om man använder två olika värden på a och b blir (??) det största värde e¹ + e^-(-1)  som är mindre än 6 (här sätter jag a till 1 och b till -1 för att få största värdet). Men om a och b är samma (som vi har kommit fram till innan) uppstår största värdet då a = b = 1 vilket gör att uttrycket är mindre än 4, vilket blir fel. Varför skiljer det? Kan jag inte sätta olika värden på a och b enligt vårt resonemang tidigare? 

Lägg märke till att $b$ ligger mellan $0$ och $x$, så exponenten $-b$ ligger mellan $0$ och $-x$.

Om $0 \le x \le 1$, så är $0 \le a,b\le 1$ och därmed:

• $e^0\le e^a\le e^1 < 3$, medan
• $e^{-1} \le e^{-b} \le e^{0} = 1$ eftersom exponenten $-b$ ligger mellan $-1$ och $0$.

Om $-1 \le x \le 0$, så är $-1 \le a,b \le 0$ och därmed:

• $e^{-1} \le e^a \le e^0 = 1$, medan
• $e^0 \le e^{-b} \le e^1 < 3$ eftersom exponenten $-b$ ligger mellan $0$ och $1$.

Det största värde på $e^a + e^{-b}$ är därmed mindre än $e^1 + e^0$ som i sin tur är mindre än $4$.

Okej nu börjar jag hänga med. Så kommer alltså både resonemanget med att a = b och a != b funka? 

Jajamän

Sista tillägg. Jag gjorde som han i lösningsförslaget och noterade att e^x + e^-x var jämna och växande och ansatte x = 1 vilket gör att  övre gränsen blir e¹ + e^-1 vilket inte riktigt är samma som du skrev (e¹ + e⁰). I detta fall blir dock svaret samma om man avrundar uppåt till 4. Hur är det om man ska va noggrann?