Maclaurin + rest = hur lång utv?

Jag ska maclaurinutv av ord 2 och ange lämplig restterm i form av x^nB(x). Själva maclaurin utv börjar jag känna mig hemma på, men när det gäller resttermen undrar jag hur långt jag behöver derivera för att säkerställa att p2(x) inte är = p3(x)=p4(x). I denna uppgiften tex är ju p2(x)=p3(x) vilket minst ger R4(x) (skrivet som x^4*B(x), men behöver jag utforska om p4(x)=p2(x) också för att vara säker på att resttermen inte borde vara baserat på R5(x) dvs i detta fall skriver som x^5*B(x)?

Frågan/frågorna är nog: behöver jag alltid deriverar ett steg längre om derivatan leder till att sista termen i maclaurinutv blir 0? Går det att se vilka som måste vidareutvecklas?

Min observation är att de som blir 0 i maclaurinutvecklingen på f'(x)x också tenderar bli 0 i f^3(x)x^3/3!

(Bilden är bara ett exempel, själva uppgiften är löst och är rätt)

Hej!

För just din funktion noterar jag att $1+x^2=f^3(x)$ så att derivering ger

$2x = 3f^2(x)f'(x)$

som direkt ger $0=3f^2(0)f'(0)$ , och eftersom $f(0)=1$ så måste $f'(0)=0$ .

En ny derivering ger

$2=3\cdot\{2f(x)f'(x)^2+f^2(x)f''(x)\}$

som ger $2 = 3\cdot f''(0)$ och $f''(0)= 2/3$ .

Ännu en derivering ger

$0 = 2f'(x)^3+6f(x)f'(x)f''(x)+f^2(x)f'''(x)$

resulterande i $0 = f'''(0)$ . Deriverar man ännu en gång får man ...

Svara