MacLaurin polynom av sjätte graden till ln((x^3)+1)

Uppgiften är:

Bestäm MacLaurinpolynomet av sjätte graden till

$f (x) = \ln (x^{3} + 1)$

med hjälp av MacLaurin serien av ln(x+1) och lämplig substitution.

Jag vet att MacLauren serien ln(x+1) är $x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} . . . . .$

Svaret dom söker är $x^{3} - \frac{x^{6}}{2}$

Vad jag inte förstår är hur MacLaurinpolynomet av sjätte graden till f(x)=ln(x^3+1) bara kan innehålla två termer. Finns det något man kan substituera med för att det ska gå?

Utgå ifrån formeln för Maclaurinutveckling istället.

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x..$

substituera x³ = a

ln(a+1) ger a-a²/2!+a³/3! ...

sen kan du substituera tillbaka

Först och främst ska du ta bort fakultet i nämnaren i din serie. Maclaurinutvecklingen är:
$\ln (1 + t) = t - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{3} - \dots$ (använder $t$ här för att inte förvirra med $x$ )

Om vi nu har $\ln (1 + x^{3})$ så sätter du i uttrycket ovan $t = x^{3}$ och får då:
$\ln (1 + x^{3}) = x^{3} - \frac{{(x^{3})}^{2}}{2} + \dots = x^{3} - \frac{x^{6}}{2} + \dots$ vilket nu redan är av sjätte graden.

Ture skrev:
substituera x³ = a

ln(a+1) ger a-a²/2!+a³/3! ...

sen kan du substituera tillbaka

Men om jag ska upp till sjätte graden, kommer jag inte ha flera termer än två stycken som inte kommer kunna kortas bort? Om jag substituerar x^3 med a kommer väll de enda termer jag måste ha kvar vara x och $\frac{x^{2}}{2}$ ?

Pelle skrev:
Först och främst ska du ta bort fakultet i nämnaren i din serie. Maclaurinutvecklingen är:
$\ln (1 + t) = t - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{3} - \dots$ (använder $t$ här för att inte förvirra med $x$ )

Om vi nu har $\ln (1 + x^{3})$ så sätter du i uttrycket ovan $t = x^{3}$ och får då:
$\ln (1 + x^{3}) = x^{3} - \frac{{(x^{3})}^{2}}{2} + \dots = x^{3} - \frac{x^{6}}{2} + \dots$ vilket nu redan är av sjätte graden.

Tack, nu förstår jag hur jag tänkte fel! Jag förvirrade ihop sjätte graden med att det behövde vara 6 termer

Svara

Visa senaste svar