MacLaurin-Begränsad restterm

Försökte lösa en uppgift där man skulle ta reda på gränsvärdet då x går mot oändligheten av uttrycket $\frac{1}{x}$ $\int_{1}^{x} t \sin (1 / t)$ . För att göra detta tänkte jag MacLaurinutveckla sin(1/t), men här stöter jag på ett problem. Jag vet ju att då x är nära 0 kan man skriva $\sin (x) = x + x^{3} B (x)$ där B(x) är en begränsad funktion nära 0. Om man istället skriver resttermen på lagranges form så verkar det som att resttermen kommer vara ( $x^{3}$ )*(något begränsat) så länge tredjederivatan(i detta fall) är begränsad. Gäller detta allmänt? När jag kollar i facit står kravet $|x| \leq 1$ för att B(x) ska vara begränsad, men sinus har väl bara begränsade derivator? Nu är i och för sig absolutbeloppet av 1/t mindre än 1 i det relevanta integrationsintervallet, men hade aldrig tidigare hört talas om denna gräns och undrar därför om jag har tänkt helt fel.

Kör en bump och ett tillägg. Menar att derivatorna ska vara kontinuerliga(som dock medför att de är begränsade) i en omgivning. Är detta ett tillräckligt villkor för att B(x) ska vara begränsad?

Min gissning är att ingen annan heller förstår vad det är du försöker fråga efter. Du rör ihop $x$ och $t$ på ett sätt som åtminstone inte jag hänger med på. Skriv av uppgiften ord för ord eller lätt in en bild, så finns det en chans att någon förstår. Exempelvis, har du tappat bort ett $dt$ eller ett $dx$ i integralen på andra raden?

Ja där hade det trillat bort ett dt. Integralen var bakgrunden till min fråga, men egentligen är frågan detta:

När man kan skriva sin(x) som ett taylorpolynom adderat med en begränsad funktion. Om jag tänker rätt borde det fungera för alla x, men enligt facit bara då absolutbeloppet av x är mindre än 1.

Ytterligare förtydligande(Ej centalt för min fråga): Anledningen att jag skriver sin(x) och inte sin(t) är för att jag sedan vill ha ett taylorpolynom för sin(1/t) genom substitutionen x=1/t. 1/t går ju mot 0 då t går mot oändligheten.

Hej!

Det gäller att

$\sin x = x + o(x^2)$

där lilla ordo $o(x^2)$ betecknar en funktion sådan att

$\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2} = 0;$

hur funktionen $o(x^2)$ beter sig för andra x-värden sägs det inget om. Maclaurinpolynomet $p(x) = x$ approximerar $\sin x$ i en liten omgivning kring $x=0$ ; mer specifik information kräver att man diskuterar hur nära man vill att $p(x)$ ska vara $\sin x$ .

När $t \geq 1$ är ett stort tal är $1 / t$ nära noll och då är $\sin \frac{1}{t} = \frac{1}{t} + o(t^{-2})$ och integralen kan skrivas

$\displaystyle\frac{1}{x}\int_{1}^{x}1\,dt + \frac{1}{x}\int_{1}^{x}t\cdot o(\frac{1}{t^2})\,dt.$

Den första termen är uppenbarligen $\frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ och den andra termen resulterar i en funktion som närmar sig $0$ då $x$ växer. Det sökta gränsvärdet är därför lika med $1$ .

Jo när x är stort har jag inga problem, men det fungerar alltså trots att den undre gränsen är 1? Anledningen att man kan integrera ordo är väl för att man faktoriserar ut ett tal som är en begränsning av funktionen och sedan integrerar potensfunktionen som blir kvar? Därav min fråga om begränsning.

Edit: kanske ditt svar i min andra tråd svarar på frågan. Kontinuitet på slutet intervall medför ju begränsning. Men det är kommentaren från min föreläsare om att abs(x)<1 som förvirrar mig

Svara

Visa senaste svar