Maclaurin

Hej

jag har en uppgift där jag ska beräkna gränsvärdet genom maclaurinutveckling av serien:

$\frac{l i m}{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} + e^{- x^{2}} - 2}{x^{2} \ln (1 + 3 x^{2})}$

svaret ska bli $\frac{l i m}{x \to 0} \frac{x^{4} + \frac{2 x^{8}}{4!} + . . .}{3 x^{4} - \frac{9 x^{6}}{2} + . . .} = \frac{1}{3}$

om man börjar med täljaren så har vi att $e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{3!}$ och $e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{3!}$ och sedan har vi även -2, så hur ska man få detta att bli $x^{4} + \frac{2 x^{8}}{4!}$

Din Maclaurinutveckling för $e^{-x^2}$ blir lite fel. Sätt in $-x^2$ i $e^x$ -utvecklingen så får du:

$e^{-x^2}=1+\left(-x^2\right)+\dfrac{(-x^2)^2}{2}+\dfrac{(-x^2)^3}{3!}+...=1-x^2+\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{x^6}{3!}+...$

Nja din utveckling av $e^{- x^{2}}$ är fel

$e^{- x^{2}} = 1 + \frac{(- x^{2})}{1!} + \frac{(- x^{2})^{2}}{2!} + \frac{(- x^{2})^{3}}{3!} . . .$

Notera att $e^{x^{2}} + \frac{1}{e^{x^{2}}} - 2 = (e^{0.5 x^{2}} - e^{- 0.5 x^{2}})^{2}$ varför täljaren kan skrivas

$(x^2+o(x^4))^2 =x^4 (1+o(x^2))^2=x^4(1+o(x^2))$

Det gäller även att $\ln(1+y) = y-0.5y^2+o(y^2)$ varför nämnaren kan skrivas

$x^2 \cdot (3x^2-1.5x^4 + o(x^4)) = x^4(3-1.5x^2+o(x^2)).$

Kvoten kan därför skrivas

$\frac{1+o(x^2)}{3-1.5x^2+o(x^2)}$ .

Vad händer med denna kvot när $x$ närmar sig talet noll?

Svara

Visa senaste svar