Maclaurin

Hej

jag behöver lite hjälp med denna uppgift:

Låt f(x)= $x e^{- x}$ . Bestäm Maclaurinpolynomet p2(x)= $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ av ordning 2 till f(x). Beräkna differensen $\int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} p_{2} (x) d x$

Om du ökar graden på Maclaurinpolynomet, är det rimligt att differensen (eller snarare beloppet av differensen) ökar eller minskar då? varför är det så?

jag började med att sätta $\int_{0}^{1} e^{- x} x d x - \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

sedan ska man sätta $|- e^{- x} x| - \int_{0}^{1} (- e^{- x}) \times 1 d x - {|\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}|}^{1}_{0}$

jag förstår inte riktigt mellansteget, varför ska vi sätta $\int_{0}^{1} (- e^{- x}) \times 1$

De har integrerat partiellt och vill visa att derivatan av x är 1.

jag förstår ändå inte riktigt, vi har ju två termer från början $e^{- x} x$ och $(x - x^{2})$ jag är inte riktigt med på stegen fram till $(- e^{- x}) \times 1$

Det den första integralen har inget med (x-x²) att göra. Vi börjar med att förstå vad den första integralen är. Partiell integration är

$\int f(x)g(x)\, \mathrm{d}x=F(x)g(x)-\int F(x)g^{'}(x)\, \mathrm{d}x$

$\int_0^1 \underbrace{e^{-x}}_{f(x)}\cdot \underbrace{x}_{g(x)}\, \mathrm{d}x=\left[ \underbrace{-e^{-x}}_{F(x)}\cdot \underbrace{x}_{g(x)}\right ]_0^1+\int_0^1 \underbrace{e^{-x}}_{-F(x)}\cdot \underbrace{1}_{g^{'}(x)}\, \mathrm{d}x$

okej men får vi inte då $- e^{- 1}$ och sedan ${|- e^{- x} * x|}^{1}_{0}$ och då får vi ju $- 2 e^{- 1}$ totalt men vi ska ju även få en etta

JnGn skrev :
okej men får vi inte då $- e^{- 1}$ och sedan ${|- e^{- x} * x|}^{1}_{0}$ och då får vi ju $- 2 e^{- 1}$ totalt men vi ska ju även få en etta

Nej, för den första integralen får vi

$\int_0^1xe^{-x}\, \mathrm{d}x=-e^{-1}+\int_0^1 e^{-x}\, \mathrm {d}x=-e^{-1}+1-e^{-1}=-2e^{-1}+1$

Vilket också kan skrivas som $\frac{e-2}{e}$

Svara

Visa senaste svar