Mac Laurin av en tämligen knepig funktion (Matematik/Universitet)

Sätt:

$\cos u \approx 1 - \frac{u^2}{2}$

och integrera sedan polynom på vanligt vis.

Blir ganska smidigt.

Varför begränsa sig till två Taylor-termer av cosinus?
Man kan väl integrera hela Taylor-summan?

Kvadratenskvadrat skrev :
Förstår att det är med inre derivata, t.ex låt x^2=s
så får man g'(s)=cos(s^2) , varför är derivatan det , nu när jag tänker efter?
Och hur ska jag gå vidare?

Du är inne på helt rätt spår!

Själva tricket här är att upptäcka att uppgiften har en "doft" av analysens huvudsats, och sedan lösa den på ungefär samma sätt som när man Maclaurinutvecklar typ $\arctan(x^2)$ .

Steg 1. Gör dig av med det jobbiga $x^2$ i integrationsgränsen, genom att skriva $f(x)=g(x^2)$ , där

$g(s) = \displaystyle\int_0^s \cos(t^2)\,\mathrm{d}t\,.$

Steg 2. Maclaurinuteckla $g(s)$ en bit. (Hur långt är tillräckligt långt?) För att göra detta måste du kunna derivera $g(s)$ ett antal gånger. Du behöver analysens första huvudsats för att göra första deriveringen.

Steg 3. Använd detta för att få fram ett Maclaurinpolynom för $f(x)=g(x^2)$ genom att helt enkelt substitutera $s=x^2$ .

Steg 4. Använd satsen om unikhet av Maclaurinpolynom (eller vad satsen nu kallas i er bok) för att dra slutsatsen att det du fick fram i steg 3 verkligen är ett Maclaurinpolynom.

Som alltid är det en bra idé att plotta lite saker exv. i Wolfram Alpha för att få en känsla för vad man håller på med. Kolla till exempel in den här plotten av g(s) och den här plotten av f(x). Stämmer det med vad du kommer fram till?

Man kan även direkt fråga Wolfram Alpha om Maclaurinutvecklingen, så här och så här.

tomast80 skrev :
Sätt
$\cos u \approx 1 - \frac{u^2}{2}$
och integrera sedan polynom på vanligt vis.
Blir ganska smidigt.

Också kul approach! Dock är jag inte säker på hur man ska argumentera för att polynomet som man får fram på det sättet verkligen är Maclaurinpolynomet?

oggih skrev :
tomast80 skrev :
Sätt
$\cos u \approx 1 - \frac{u^2}{2}$
och integrera sedan polynom på vanligt vis.
Blir ganska smidigt.
Också kul approach! Dock är jag inte säker på hur man ska argumentera för att polynomet som man får fram på det sättet verkligen är Maclaurinpolynomet?

tomast80s lösning känns som den enklaste. Potensserier kan integreras term för term.

Att använda alla termer so Affe föreslår går förstås. Här räcker det tydligen med cos(t^2) = 1 + O(t^2).

Dr. G skrev :
oggih skrev :
tomast80 skrev :
Sätt
$\cos u \approx 1 - \frac{u^2}{2}$
och integrera sedan polynom på vanligt vis.
Blir ganska smidigt.
Också kul approach! Dock är jag inte säker på hur man ska argumentera för att polynomet som man får fram på det sättet verkligen är Maclaurinpolynomet?
tomast80s lösning känns som den enklaste. Potensserier kan integreras term för term.
Att använda alla termer so Affe föreslår går förstås. Här räcker det tydligen med cos(t^2) = 1 + O(t^2).

Bra klargörande! Det blir väl t.o.m.

$\cos (t^2) = 1+O(t^4)$ ?

En sak man behöver tänka på bara när man integrerar potensserier är att se till att man sätter integrationskonstanten rätt. Exempelvis om man integrerar MacLaurinutvecklingen av $-\sin x$ för att få utvecklingen för $\cos x$ .

tomast80 skrev

Det blir väl t.o.m.
$\cos (t^2) = 1+O(t^4)$ ?

Precis, O(t^4). Kvadratens kvadrat försvann!

Dr. G skrev :
Potensserier kan integreras term för term.

Oh, just det! Hade helt glömt det där lilla miraklet :D Dock inte speciellt elementärt att bevisa, så om man inte vill använda min variant, med analysens huvudsats, är det nog lättast att göra som tomast80 föreslog från början, vilket vid närmare eftertanke nog inte är så svårt att göra formellt:

Idén är då, precis som redan har sagts i tråden, att utnyttja att cos(t^2)=1+O(t^4). Det är då frestande att skriva

$f(x)=\int_0^{x^2} (1+\mathcal{O}(t^4))\,dt=[t+\mathcal{O}(t^5)]_0^{x^2}=x^2+\mathcal{O}(x^{10})$

och sedan använda satsen om entydighet av maclaurinpolynom för att dra slutsatsen att x^2 verkligen är det sökta maclaurinpolynomet av ordning 3.

Problemet är bara att det inte är helt uppenbart att vi kan antiderivera/integrera ordotermen hur som helst (eller missar jag något nu?), så för säkerhets skull måste vi nog vara lite mer explicita med vad det där ordot betyder. Det vi egentligen menar med O(t^4) är ju nämligen att

$\cos(t^2)=1+B(t)t^4$

för någon funktion $B(t)$ som är begränsad för t nära 0. Det in sin tur betyder att det finns något tal $M>0$ sådant att $|B(t)|\leqslant M$ för t tillräckligt nära 0.

För tillräckligt små x gäller därför att

$f(x)=\int_0^{x^2} \cos(t^2)\,dt=\int_0^{x^2} (1+B(t)t^4)\,dt = x^2+\int_0^{x^2}B(t)t^4\,dt\,,$

där den sista termen är väldefinierad eftersom $B(t)t^4=\cos(t^2)-1$ är differensen av två kontinuerliga funktioner och därför kontinuerlig själv, och således integrerbar. Storleken på denna sista term kan begränsas på följande sätt:

$|\int_0^{x^2} B(t)t^4\,dt|\leqslant \int_0^{x^2}M t^4\,dt=[\frac{Mt^5}{5}]_0^{x^2}=\frac{Mx^{10}}{5}\,,$

vilket betyder att den sista termen mycket riktigt är O(x^10) -- precis som vi förväntade oss! -- så att

$f(x)=x^2+\mathcal{O}(x^{10})\,,$

vilket enligt satsen om entydighet av maclaurinpolynom betyder att vi kan vara säkra på att x^2 är det sökta maclaurinpolynomet av ordning 3.

Det här blev ett lite längre resonemang än jag hade tänkt när jag började skriva inlägget, så om någon annan har ett mindre knöligt argument för varför tomast80:s approach fungerar tas det tacksamt emot :P