Ma3C extremvärden

Hej! Jag har fastnat på en uppgift som jag skulle uppskatta om jag kunde få hjälp på:

Fredrik och Gustav deltar i samma cykellopp. Loppet är 90 km långt. Fredrik håller jämn fart hela loppet medan Gustavs fart varierar. Man kan förenklat beskriva den sträcka (i km) de har cyklat med funktionerna: $f (t) = 30 t o c h g (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 37, 8 t$

Fredrik och Gustav startar samtidigt. Fredrik går i mål först. Han passerar mållinjen precis 3 timmar efter start.

Hur lång tid efter start är avståndet mellan Fredrik och Gustav störst och hur långt är avståndet mellan dem då?

Jag förstår att för att få ut avståndet bör man ta Fredriks funktion subtraherat med Gustavs. Sedan tar man ut derivatan, sätter lika med noll, får ut maxvärdet och sedan lägger in det för att få ut det maximala värdet och maxavståndet. Men när jag gör det får jag fel svar, och i facit verkar det se ut som att man ska ta gustavs funktion minus fredriks. Svaret är 3,6km precis när Fredrik går i mål. Skulle någon kunna hjälpa mig? Det skulle uppskattas, har nämligen prov om två dagar.

Hej och välkommen hit.

Hur vet du vem som leder loppet vid en viss tidpunkt?

Det förekommer inte i frågan, och jag vet inte hur jag ska få reda på det.

Rätt.

Därför räcker det inte att söka max av ( f(x)-g(x) ). Det kan ju tänkas att max av ( g(x)-f(x) ) är större.

Men jag får ett negativt tal i slutändan ändå

145197 skrev :
Men jag får ett negativt tal i slutändan ändå

Visa hur du räknar så kan vi hjälpa dig att hitta var det går snett.

Bubo skrev :
Rätt.
Därför räcker det inte att söka max av ( f(x)-g(x) ). Det kan ju tänkas att max av ( g(x)-f(x) ) är större.

Nej, men det räcker ju att söka extremvärden till differensen. Samt kontrollera ändpunkten såklart (målgången).

a(t)=g(t)-f(t)=t^3-6t^2+37,8t-30t = t^3-6t^2+7,8t

a'(t)=3t^2-12t+7,8, jag sätter detta lika med noll och utför pq-formeln som leder till samma svar om man tar f(t)-g(t) eller g(t)-f(t), vilket är att t1=3,2 och t2=0,8

Jag gör sedan a''(t)=6t-12 som gör att vi får ett maxvärde då t=3,2

Sedan sätter jag in detta i min formel, jag prövade i både f(t)-g(t) och g(t)-f(t). Vid båda fallen fick jag ett negativt svar..

145197 skrev :
a(t)=g(t)-f(t)=t^3-6t^2+37,8t-30t = t^3-12t+7,8t

Nej men vart tog t^2-termen vägen? ;-)

Yngve skrev :
145197 skrev :
a(t)=g(t)-f(t)=t^3-6t^2+37,8t-30t = t^3-12t+7,8t
Nej men vart tog t^2-termen vägen? ;-)

Oj förlåt det skulle varit -6t^2

145197 skrev :
Jag gör sedan a''(t)=6t-12 som gör att vi får ett maxvärde då t=3,2

Du har blandat ihop det lite grann.

Andraderivatan är negativ där funktionen har en maxpunkt.

För övrigt har du räknat helt rätt. Jag borde själv ha räknat genom uppgiften innan jag svarade.

Men en detalj har du missat:

Funktionen t^3-6t^2+7,8t har mycket riktigt ett extremvärde vid ungefär t=3.22 vid ungefär t=3.183. Hur står det till med cykeltävlingen efter 3.22 timmar efter 3.183 timmar?

EDIT: Rättat felaktigt värde.

Precis! Vi söker:

$h'(t) = g'(t) - f'(t) = 0$

Givet $0 \le t \le 3$

Bubo skrev :
Men en detalj har du missat:
Funktionen t^3-6t^2+7,8t har mycket riktigt ett extremvärde vid ungefär t=3.22. Hur står det till med cykeltävlingen efter 3.22 timmar?

Ooops! Den lilla detaljen missade jag också (men jag fick det till $t \approx 3, 18$ ).

Bubo skrev :
För övrigt har du räknat helt rätt. Jag borde själv ha räknat genom uppgiften innan jag svarade.
Men en detalj har du missat:
Funktionen t^3-6t^2+7,8t har mycket riktigt ett extremvärde vid ungefär t=3.22 vid ungefär t=3.183. Hur står det till med cykeltävlingen efter 3.22 timmar efter 3.183 timmar?

EDIT: Rättat felaktigt värde.

Ja men juste. Tävlingen är då slut, men hur ska jag gå vidare sen då om t inte kan vara detta?

145197 skrev :
Bubo skrev :
För övrigt har du räknat helt rätt. Jag borde själv ha räknat genom uppgiften innan jag svarade.
Men en detalj har du missat:
Funktionen t^3-6t^2+7,8t har mycket riktigt ett extremvärde vid ungefär t=3.22 vid ungefär t=3.183. Hur står det till med cykeltävlingen efter 3.22 timmar efter 3.183 timmar?

EDIT: Rättat felaktigt värde.
Ja men juste. Tävlingen är då slut, men hur ska jag gå vidare sen då om t inte kan vara detta?

Du har ju hittat även ett annat värde på t som ger ett extremvärde eller hur? Det t-värdet ligger i det tillåtna intervallet.

Jämför värdena på cyklisternas avstånd, dels vid den tidpunkten och dels vid tidsintervallets ändpunkter. Något av dessa tre värden är störst (till beloppet)

Tack så jättemycket för all hjälp!

Svara

Visa senaste svar