Ma 5 5000+ uppgift 1537 b)

Frågan är:

Beräkna först följande summor för några heltalsvärden på n, t.ex.

n = 1, 2, 3, 4, 5

Försök sedan finna en formel för S_n.

Bevisa till sist med induktionsbevis att formeln verkligen gäller.

b) 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

På a) uppgiften kan jag ändå förstå hur man kommit fram till formeln S_n, men jag har inte någon aning hur facit lyckas få fram formeln $\frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ på b) uppgiften. Jag undersökte de fem första summorna som blev 1, 9, 36, 100, 225. Sen märkte jag att de alla var kvadrattal, men när jag försökte se om jag kunde göra någon formel utifrån det kom jag inte någon vart. Finns det något smart sätt att hitta formeln S_n?

Tanken är nog att man ska identifiera att talföljden i b) är kvadrater av talföljden i a), alltså att $1^2 = 1$ , $3^2 = 9$ , $6^2 = 36$ , $10^2 = 100$ och $15^2 = 225$ . Det leder en att ansätta $(\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ som trolig formel för induktionen.

Svara