Ma 3b Derivering och Geometri

"I burkens över- och underdel ska materialtjockleken vara det dubbla jämfört med mantelytan."

Vad innebär det ?

Om matelytan är = 2 

Så är över och underdelen =4 

?

Volym: V=𝛑r^2*h h=V𝛑r^2
              ------------    -----------
                      |               |

Det stämmer          Men det stämmer väl inte?

V=𝛑r^2*h  

Så denna ska in i funktionen med cylider arean? 

Frågan i uppgiften är:  Hur skall förhållandet mellan burkens diameter och höjd
                                        vara för att minimera materialkostnaden?

För att minimera materialkostnaden skall det gå åt så lite aluminiumplåt som
möjligt för att tillverka en burk med en viss volym (volymen V).

Då tänker jag så här:     $\frac{\mathrm{volymen}}{\mathrm{ytan}}$  ska vara ett så stort tal som möjligt

Man kan antingen maximera volymen givet en viss materialkostnad eller minimera materialkostnaden givet en viss volym. Båda alternativen ger samma dimensioner (relativa mått).

Men är det inte materialåtgångens funktion som man opitmerar? För att minimera materialkostanden måste man ju minimera materialåtgången. 

Mathkhin skrev :

Men är det inte materialåtgångens funktion som man opitmerar? För att minimera materialkostanden måste man ju minimera materialåtgången. 

Det stämmer. Antag att materialkostnaden är $1$ valutaenhet/volymenhet.

tomast80 skrev :

Mathkhin skrev :

Men är det inte materialåtgångens funktion som man opitmerar? För att minimera materialkostanden måste man ju minimera materialåtgången. 

Det stämmer. Antag att materialkostnaden är $1$ valutaenhet/volymenhet.

Är det ett "kritiskt" steg att anta att materialkostanden är 1 vaultaenhet/volymenhet? För jag tänker att i materialåtgången räknar man ju inte med materialkostanden? Behöver man då motivera att 1 vaultaenhet/volymenhet? Känns som att det är lite onödigt att anta det? Har jag fel? 

Mathkhin skrev :

tomast80 skrev :

Visa föregående citat

Mathkhin skrev :

Men är det inte materialåtgångens funktion som man opitmerar? För att minimera materialkostanden måste man ju minimera materialåtgången. 

Det stämmer. Antag att materialkostnaden är $1$ valutaenhet/volymenhet.

Är det ett "kritiskt" steg att anta att materialkostanden är 1 vaultaenhet/volymenhet? För jag tänker att i materialåtgången räknar man ju inte med materialkostanden? Behöver man då motivera att 1 vaultaenhet/volymenhet? Det gäller ju att minimera materialkostand => minimera materialåtgång. Känns som att det är lite onödigt att anta det? Har jag fel? 

Visst, om du tycker det är onödigt kan du skippa det. Ville bara visa att i det här fallet är det ekvivalent att minimera materialkostnaden eller materialåtgången.

Jag påstår att förhållandet mellan burkens diameter och höjd måste vara  1:$\infty$

(vilket ju i verkligheten är en orimlig burk)

Om uppgiften hade angett en viss volym t.ex. 2 liter, så hade det gått att optimera
materialåtgången (=materialkostnaden). Men nu anges ju ingen volym.

Om någon av Pluggakutens läsare/problemlösare anser sig ha ett svar på
"förhållandet mellan burkens diameter och höjd" så skulle det svaret vara d:h och
oberoende av volym.
Då säger jag: Fördubbla höjden, ( d:2h ) så blir volymen fördubblad medan materialåtgången
inte blir fördubblad (enbart mantelytan fördubblas, ej över- och underdelen).
Eftersom  volymen fördubblats medan materialåtgången (=materialkostnaden) ökat
med mindre än så, så har materialkostnaden/liter minskat.
Detta kan upprepas ( d:4h ), och upprepas...

larsolof skrev :

Jag påstår att förhållandet mellan burkens diameter och höjd måste vara  1:$\infty$

(vilket ju i verkligheten är en orimlig burk)

Om uppgiften hade angett en viss volym t.ex. 2 liter, så hade det gått att optimera
materialåtgången (=materialkostnaden). Men nu anges ju ingen volym.

Om någon av Pluggakutens läsare/problemlösare anser sig ha ett svar på
"förhållandet mellan burkens diameter och höjd" så skulle det svaret vara d:h och
oberoende av volym.
Då säger jag: Fördubbla höjden, ( d:2h ) så blir volymen fördubblad medan materialåtgången
inte blir fördubblad (enbart mantelytan fördubblas, ej över- och underdelen).
Eftersom  volymen fördubblats medan materialåtgången (=materialkostnaden) ökat
med mindre än så, så har materialkostnaden/liter minskat.
Detta kan upprepas ( d:4h ), och upprepas...

Jag håller med dig om att uppgiftslydelsen lämnar en del övrigt att önska.

Som uppgiften är formulerad finns det ingen lägsta materialkostnad.

Ju mindre material som går åt, desto lägre kostnad blir det per burk. Om vi alltså låter burkens diameter gå mot 0 så kommer även materialkostnaden att gå mot 0.

När detta problem har dykt upp tidigare här på PA har vi därför förutsatt att burkarnas volym ska vara konstant, vilket löser både problemet med $(d:h)=(1,\inf )$ och nollvolym.

Får jag bara fråga varför materialtjockleken i detta fall ses som en konstant? Säg att den är t för manteln och 2t för över- och underdel. 

Jag har fel i mitt tidigare inlägg, där jag påstod
att "förhållandet mellan burkens diameter och höjd måste vara 1:∞"

Rätt svar är att förhållandet mellan burkens diameter och höjd är 1:2

Mantelarea:  $2\mathrm{r\pi h}$

Area ändytor:  ${\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi }$

Volym: V=${\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi h}$       $\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi }}$

Cylinderns totala area ( A ) är mantelytan + 4 ändytor    ( 4 därför att dessa har dubbel tjocklek )

A = $2\mathrm{r\pi h} + \mathbf{4}{\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi }$

Sätter in värdet på h

A  =  $2\mathrm{r\pi }\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi }} + 4{\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi } = 2\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{r}} + 4{\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi } = 2{\mathrm{Vr}}^{-1} + 4{\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi }$

Denna totala area  A  ska vara så liten som möjligt - derivatan ska vara noll

$\mathrm{A}\text{'}\left(\mathrm{r}\right) = -2{\mathrm{Vr}}^{-2} + 8\mathrm{\pi r} = 0$

$8\mathrm{\pi r} = 2{\mathrm{Vr}}^{-2} \Rightarrow 8\mathrm{\pi } = 2{\mathrm{Vr}}^{-3} \Rightarrow 8\mathrm{\pi }=\frac{2\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^3}$

Sätter in värdet på  V

$8\mathrm{\pi }=\frac{2\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^3} \Rightarrow 8\mathrm{\pi }=\frac{2 {\mathrm{r}}^2\mathrm{\pi h}}{{\mathrm{r}}^3} \Rightarrow 4=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{r}}$$\Rightarrow 4\mathrm{r}=\mathrm{h}$

Och 2r = d  ( diametern )

$4\mathrm{r}=\mathrm{h} \Rightarrow 2\mathrm{d}=\mathrm{h} \Rightarrow \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{h}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

-----------------------------------
Tidigare skrev jag:
Fördubbla höjden, ( d:2h ) så blir volymen fördubblad medan materialåtgången
inte blir fördubblad (enbart mantelytan fördubblas, ej över- och underdelen).
Eftersom volymen fördubblats medan materialåtgången (=materialkostnaden) ökat
med mindre än så, så har materialkostnaden/liter minskat.  

Men detta resonemang är fel, för materielkostnaden (=den totala ytan A) blir
ännu mindre och cylindern med fördubblad volym också har $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{h}}=\frac{1}{2}$

Mathkhin skrev :

Får jag bara fråga varför materialtjockleken i detta fall ses som en konstant? Säg att den är t för manteln och 2t för över- och underdel. 

Den är t för manteln och 2t för över- och underdel.
Jag tar hänsyn till det i ekvationerna genom att räkna med 4 sådana delar.

(Se mitt senaste inlägg)

larsolof skrev :

Mathkhin skrev :

Får jag bara fråga varför materialtjockleken i detta fall ses som en konstant? Säg att den är t för manteln och 2t för över- och underdel. 

Den är t för manteln och 2t för över- och underdel.
Jag tar hänsyn till det i ekvationerna genom att räkna med 4 sådana delar.

(Se mitt senaste inlägg)

Jojo, är helt med på din uträkning, men varför r och h ses som variabler och inte tjockleken. Varför ses godstjockleken t ses som konstant och inte en variabel. Är det för att tjockleken redan är "given" i uppgiften som man bara anta att tjockleken är konstant? Dvs. egentligen bara kunna skippa att använda en variabel på tjocklen. Du har ju skrivit:

A = 2rπh + 4r^2π och inte A = 2trπh + 4tr^2π  

tjockleken påverkar inte optimeringen, därför räknar jag inte materialvolymen
utan det räcker att räkna med materialarean  ( A ).
Och som sagts tidigare , de dubbelt tjocka ändytorna tar jag hänsyn till genom att
dubbla dessa ytor. 

larsolof skrev :

tjockleken påverkar inte optimeringen, därför räknar jag inte materialvolymen
utan det räcker att räkna med materialarean  ( A ).
Och som sagts tidigare , de dubbelt tjocka ändytorna tar jag hänsyn till genom att
dubbla dessa ytor. 

Ok..Hänger med nu! Materialåtgången = materialvolymen = materialarean - stämmer det?

Ja. Och = materialkostnad