M4, blandade övningar 4, uppgift 31 a)
Uppgiften lyder att man ska lösa ekvationen - 16 = 0
Jo jag har förmodligen missat något väsentligt i denna uppgift för får bara svaren
x1=2
x2=-2
x3=2i
Facit fyller ut med x4=-2i
Till x1 och x2 löser jag ekvationen genom att
- 16 + 16 = 0 + 16
= 16
fjärde roten ur = fjärde roten ur 16
x1 = 2
x2 = -2
Men förstår att det är två rötter till. Så provade också att konjugera ekvationen (heter det så när man gör två parenteser av en ekvation sådär?)
( + 4)( - 4) = 0
+ 4 = 0
+ 4 - 4 = -4
roten ur = roten ur -4
x = 2i
Andra parentesen
- 4 = 0
- 4 + 4 = 0 + 4
roten ur = roten ur 4
x = 2
Varför blir det även -2i?
Minns att jag läste i anslutning till faktorsatsen att det alltid finns ett konjugat till varje rot, som när man löser ekvationer med två rötter och får x = +/- (svaret)
Om du kan lösa ekvationen nedan så kan du även se varför du får också.
Du har - 16 = 0
Hitta på att
och byt ut mot
så får du - 16 = 0 och sedan löser du detta i två steg
På samma sätt som att 2^2 = 4 och (-2)^2 = 4 så gäller att både (2i)^2 = -4 och (-2i)^2 = -4.
Vi har ju att (-2i)^2 = (-2)^2*i^2 = 4*(-1) = -4
Lösning enligt samma tänk som larsolov men utan att använda z:
x^4 = 16
Ta roten ur bägge sidor:
x^2 = +/- 4
Dela upp i två fall: 1: x^2 = 4 och 2: x^2 = -4
Fall 1: x^2 = 4
Ta roten ur bägge sidor:
x = +/- 2
Fall 2: x^2 = -4
Ta roten ur bägge sidor:
x = +/- 2i