M4) Avgör om påståendet är sant

Hej.

Ett komplext tal z är välbestämt på det sättet att det befinner sig på en bestämd plats i det komplexa talplanet.

På rektangulär form finns det endast ett sätt att beskriva z, nämligen z = a+bi.

Men på polär form z = r(cos(v) + i*sin(v)) finns det oändligt många sätt att beskriva z. För alla dessa beskrivningar gäller att absolutbeloppet r är detsamma, men argumentet v kan skrivas på oändligt många sätt, eftersom både sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska med perioden 2pi (360°).

Argumentet är alltså, precis som du beskriver, inte välbestämt för ett givet komplext tal.

Därför kan man mycket väl skriva z₁ och z₂ på sådana former att påståendet är falskt.

Påståendet är alltså inte alltid sant.

Låt säga att vi skulle välja två komplexa tal, båda med radien $r$ och där $\arg z_1 = \pi/3$, och ett där $\arg z_2 = -5\pi / 3$.

Dessa komplexa tal pekar på exakt samma punkt i det komplexa talplanet, men tydligen skulle deras argument vara olika? Det tycker jag verkar ganska märkligt. Varför har man inte bestämt att vinkeln ska ligga i $0 \le \theta \le 2\pi$?

Det verkar lite skumt för mig att funktionen är flervärd när talen är entydiga.

Tack för båda era svar, förstår nu bättre varför man kan resonera som de gjort.

Ha en trevlig kväll.