m-värde av sned asymptot

Här är en tråd om nästan samma fråga: https://www.pluggakuten.se/trad/varfor-fungerar-detta-inte-for-sned-asymptot/

Laguna skrev:

Här är en tråd om nästan samma fråga: https://www.pluggakuten.se/trad/varfor-fungerar-detta-inte-for-sned-asymptot/

Förstår, men hade gärna haft en något tydligare väg framåt. Vad skulle vara mera effektivt att använda L'Hopitals regel eller att använda Taylor/Mclaurinpolynom för att komma fram till de sneda asymptoterna?

Man kan använda sig av variabelbytet $v = \arctan x$ (därmed $x = \tan v$ och $v \to \frac{\pi}{2}^-$) och sedan ett av de elementära trigonometriska gränsvärdena. Varken l'Hôpital, eller Maclaurin behövs.

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 \arctan x}{5x+5} - \frac{\pi}{10} x = \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x^2 (\arctan x - \pi/2)}{5x+5} - \frac{\pi/2}{5x+5}\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 (\arctan x - \pi/2)}{5x} \cdot \frac{5x}{5x+5} = \frac{1}{5} \lim_{x\to\infty} \frac{x^2 (\arctan x - \pi/2)}{x}$

Om man nu gör variabelbytet som föreslagits ovan, så fås att

$\lim_{x\to\infty} x (\arctan x - \pi/2) = \lim_{v\to\pi/2^-} \tan(v) \cdot (v - \pi/2) = \lim_{v\to\pi/2^-} \frac{\sin v}{\cos v} (v - \pi/2) = 1 \cdot \lim_{v\to\pi/2^-}\frac{v - \pi/2}{\cos v}$.

Variabelbytet $t=v-\pi/2$, med $t \to 0^-$, kommer att ge ett standardgränsvärde. (Glöm inte femtedelen.)

I uträkningarna ovan har jag utnyttjat att gränsvärdet av två deluttrycks produkt är lika med produkten av deluttryckens gränsvärden, vilket endast gäller ifall den uppkomna produkten är meningsfull, d.v.s. ifall inget obestämt såsom $0\cdot\infty$ fåtts