Lyckas inte få till uttryck för längd av kurva - infinitesimaler

God morgon!

Jag håller på att försöka använda infinitesimaler (och deras multiplikativa inverser, "oändligheter") för att komma fram till formeln för hur man beräknar längden av en kurva över ett intervall. Jag har en definition sedan tidigare som jag har lyckats missbruka i många bevis hittills:

$\displaystyle \mathrm{Re}\sum_{k=0}^{\omega}f(x_k)\frac{b-a}{\omega}:=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$

Mycket likt den klassiska definitionen som en Riemannintegral. $\omega$ i det här fallet är en så kallad oändlighet, alltså ett tal som är strikt större än alla reella tal som finns. Realdelsfunktionen ($\mathrm{Re}$) tar tal med eventuell "infinitesimal del" och mappar dem mot det närmsta reella talet. Tanken bakom denna definition är att man delar in ett område under kurvan i oändligt många, infinitesimalt breda rektangelliknande areor och summerar dem. Arean man har beräknat kommer du ligga infinitesimalt nära den egentliga arean under kurvan, och den skillnaden tas bort med realdelsfunktionen.

Mitt resonemang för längden av en kurva är nu följande:

Antag att vi har en kurva $f=f(x)$, vars längd vi vill bestämma över ett intvervall $[a, b]$. Vi börjar med att låta $\Delta x = (a-b)/\omega$. Om vi utgår ifrån en punkt $x=x_k$, och gör en infinitesimal förflyttning $\Delta x$, kommer funktionsvärdet förändras infinitesimalt enligt $f(x_k+\Delta x)-f(x_k)=\Delta f(x_k)$. Sträckan mellan punkterna $(x_k, f(x_k))$ och $(x_k+\Delta x, f(x_k+\Delta x))$ kan då approximeras som hypotenusan hos den rätvinkliga triangel som uppstått:

$\displaystyle S_{del}\approx \sqrt{(\Delta f(x_k))^2+(\Delta x)^2}$

Om vi upprepar denna process längs det önskade intervallet erhåller vi:

$\displaystyle S_{tot}\approx\sum_{a}^{b}S_{del}=\sum_{k=0}^{\omega}\sqrt{(\Delta f(x_k))^2+(\Delta x)^2}$

Ur uttrycket ovan kan vi bryta ut $(\Delta x)^2$ och erhåller då:

$\displaystyle S_{tot} \approx \sum_{k=0}^{\omega}\sqrt{1+(\frac{\Delta f(x_k)}{\Delta x})^2}\Delta x$

Sträckan vi har approximerat ovan skiljer sig infinitesimalt från kurvans egentliga längd. Vi korrigerar felet genom att använda realdelsfunktionen:

$\displaystyle S_{tot}=\mathrm{Re}\sum_{k=0}^{\omega}\sqrt{1+(\frac{\Delta f(x_k)}{\Delta x})^2}\Delta x$

Och här sitter jag fast. Jag kommer inte på något sätt att "skriva om" min summa på ett sätt som gör att jag kan motivera, med min definition av den bestämda integralen, varför den måste vara lika med just en bestämd integral. Störst problem orsakar termen:

$\displaystyle \frac{\Delta f(x_k)}{\Delta x}$

Detta ska ju vara lika med en derivata, dvs. $\displaystyle \mathrm{Re}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$

Skulle man använda definitionen direkt skulle man få:

$\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+(\frac{\Delta f}{\Delta x})^2}\mathrm{d}x$

Det är ju just det där rackarns bråket som... bråkar. Nej okej, ursäkta den dåliga ordvitsen. Men jag är helt lost på hur jag ska få till det. Integralen inte ha någon infinitesimal i sig, så på något sätt måste $\Delta f/\Delta x$ bli till $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x$... Jag har ett intuitivt resonemang för varför det måste vara så men jag vill helst hålla mig vid definitionen så gott som går.

Jag har läst igenom en del härledningar av formeln med vanliga gränsvärden men jag är inte särskilt imponerad av någon av dem (typ ingen är rigorös). Vet inte riktigt vad jag förväntar mig, men om någon har någon insikt är jag öppen för förslag!