Lyckas inte derivera enkel funktion

Halloj!

Jag sitter här med en enkel uppgift som man egentligen borde kunna lösa med gymnasiematematik. Jag skäms lite över att erkänna att jag inte lyckas få till det av någon anledning. Frågan är:

Bestäm $\displaystyle f'\left(-4\right)$ för funktionen $\displaystyle f\left(x\right) = \ln\left|\tan\frac{\pi}{x}\right|$. Jag tänker att absolutbeloppet här inte utgör något större problem egentligen. Eftersom vi tittar på $x=-4$ ser vi att vi i intervallet egentligen betraktar:

$\displaystyle f\left(x\right) = \ln\left(-\tan\frac{\pi}{x}\right)$

Sedan tänkte jag att det bara var att derivera som vanligt:

$\displaystyle f'\left(x\right) = \frac{1}{-\tan(\pi/x)}\cdot\left(-\sec^2\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)\cdot\left(-\frac{\pi}{x^2}\right)$.

När man sedan stoppar in $x=-4$ gör jag så här:

$\displaystyle \frac{1}{-\tan\left(\pi/\left(-4\right)\right)}\cdot\left(-\sec^2\left(\frac{\pi}{-4}\right)\right)\cdot\left(-\frac{\pi}{(-4)^2}\right)=\frac{\pi}{8}$

Men detta stämmer inte. Jag har gjort ett teckenfel någonstans och jag håller på att slita ur mig håret i jakten på det. Hjälp skulle uppskattas!

Nu när jag slog den på Wolfram fick jag samma svar. Det verkar som det står fel i facit (eller mitt minne av facit, det var en konstig morgon idag)...