Lyapunov VS andra stabilitetsvillkor ?

Det finns vektorfält mappningar där linjärisering inte fungerar för fixpunkter.

emmynoether skrev :

Det finns vektorfält mappningar där linjärisering inte fungerar för fixpunkter.

Så avgöra om en inverterad pendel med metoden det(s*I-A) = 0 fungerar inte. Man måste använda Lyapunov's funktion för stabilitet?

Alltså kan man säga att Lyapunov's ekvation för stabilitet är stabilitet i en punkt, medan det(s*I-A) = visar om systemet kommer stabilisera sig?

Vad menar du med inverterad pendel?

Via linjärisering kan man för hyperboliska fixpunkter (de som inte har centers) bestämma vilken typ av fixpunkt det är. Lyapunovs metod fungerar även för icke-hyperboliska fixpunkter, alltså centers. 

Testa själv med en odämpad pendel, toppenläget kan enkelt analyseras via linjärisering genom att kika på egenvärdena men punkt (0,0) kommer bli en center och där kan du inte säga någonting alls med hjälp av egenvärdena. Med Lyapunovs metod kan du däremot visa att (0,0) faktiskt är en stabil jämviktspunkt/fixpunkt.

Just med pendeln är det ju aldrig något problem för vi kan ju enkelt argumentera rent fysikaliskt att bottenläget såklart måste vara en stabil punkt, allt annat vore ju tokigt. Men det är svårare att visa rent matematiskt.

emmynoether skrev :

Vad menar du med inverterad pendel?

 

Via linjärisering kan man för hyperboliska fixpunkter (de som inte har centers) bestämma vilken typ av fixpunkt det är. Lyapunovs metod fungerar även för icke-hyperboliska fixpunkter, alltså centers. 

Testa själv med en odämpad pendel, toppenläget kan enkelt analyseras via linjärisering genom att kika på egenvärdena men punkt (0,0) kommer bli en center och där kan du inte säga någonting alls med hjälp av egenvärdena. Med Lyapunovs metod kan du däremot visa att (0,0) faktiskt är en stabil jämviktspunkt/fixpunkt.

 

Just med pendeln är det ju aldrig något problem för vi kan ju enkelt argumentera rent fysikaliskt att bottenläget såklart måste vara en stabil punkt, allt annat vore ju tokigt. Men det är svårare att visa rent matematiskt.

Alltså med Lyapunovs metod så kan man avgöra stabiliteten hos ett system, i en viss punkt? Vid (0,0) på en inverterad pendel så betyder det att den har nått sitt högsta mål och därmed pekar rakt upp.

Slutsats: Lyapunovs ekvation är bättre än det(s*I-A) = 0. Där s är egenvärden.

Nej vid (0,0) pekar pendeln rakt ner... Testa själv vet jag!

Nej, inte bättre. När linjärisering fungerar så är det mycket enklare och bättre att använda sig av. Men Lyapunovs metod fungerar för en större familj, alltså när linjärisering inte fungerar.

emmynoether skrev :

Nej vid (0,0) pekar pendeln rakt ner... Testa själv vet jag!

 

Nej, inte bättre. När linjärisering fungerar så är det mycket enklare och bättre att använda sig av. Men Lyapunovs metod fungerar för en större familj, alltså när linjärisering inte fungerar.

Så för linjäriserade system så är det Lyaponov's funktion som är bättre?

För linjära system så är det bättre att använda det(s*I-A) = 0 för att kolla stabiliteten?

Nej, det var inte vad jag sa.

Kika i länken här nedan och se om du blir klokare:

http://math.ubbcluj.ro/~abuica/Lecture10-Stability.pdf

Om du fortfarande inte förstår föreslår jag att du letar rätt på en bra bok om differentialekvationer och repeterar de bitar du inte förstår, jag föreslår Elementary Differential equations and Boundary value problems av Boyce och DiPrima.

emmynoether skrev :

Nej, det var inte vad jag sa.

 

Kika i länken här nedan och se om du blir klokare:

 

http://math.ubbcluj.ro/~abuica/Lecture10-Stability.pdf

 

Om du fortfarande inte förstår föreslår jag att du letar rätt på en bra bok om differentialekvationer och repeterar de bitar du inte förstår, jag föreslår Elementary Differential equations and Boundary value problems av Boyce och DiPrima.

Finns det några praktiska tillämpningar med Lyapunov?