Lutning
En sekant går genom punkterna A (1,5) och B (2,13). Fin en punkt i intervallet 1 < x < 2 där kurvans lutning är lika med lutningen för sekanten AB.
Det har jag gjort vilket var korrekt.
Men sen undrar jag kan man rent matematisk bevisa om någon här skulle visa att det alltid finns en sådan punkt, oavsett intervall?
Antingen är kurvan en rät linje - och då blir det självklart.
...eller så är kurvan inte en rät linje. Jag förutsätter dock att den är kontinuerlig och deriverbar överallt med kontinuerlig derivata. (Det gäller för alla polynom och många andra funktioner)
Derivatan kan inte vara mindre än sekantens lutning hela tiden. Då skulle kurvan inte "nå upp till" B.
Derivatan kan inte vara större än sekantens lutning hela tiden. Då skulle kurvan inte "nå ner till" B.
Eftersom den inte kan vara lika med sekantens lutning hela tiden (jo, om det är en rät linje...) så måste derivatan alltså vara mindre på något intervall, och större på något intervall.
Om då derivatan är kontinuerlig så måste den alltså någonstans vara lika med sekantens lutning. Den antar ju alla värden mellan sitt lägsta värde och sitt högsta värde.
Tack för svaret, men hur ser det ut matematisk om man skulle visa det?
Samma princip: Det behövs derivatavärden större OCH mindre än sekantens lutning, och om derivatan är kontinuerlig så antar den exakt värdet av sekantens lutning någonstans.
Man behöver uttrycka sig en aning annorlunda, med andra ord, men det är så här man resonerar.
