luftballong

Prova med Pythagoras! 

PATENTERAMERA skrev:

hur vet man att horisonten är där?

Var skulle den annars vara? Hur definierar du horisont?

Laguna skrev:

Var skulle den annars vara? Hur definierar du horisont?

har bara tyckt att horisonten är dit man kollar och inte kan se längre

får inte samma svar som facit på a) men vet inte vad jag gör för fel. Såhär har jag gjort:

med pythagoras sats fås att d(R)=(9+6R)^0.5

d´(R)=3/(9+6R)^0.5.

Facit säger (3+R)/(9+6R)^0.5

Tror du får kolla Pythagoras en gång till. Skriv ut alla steg  d^2, R^2 osv. Och använd h istället för siffran 3.

lamayo skrev:

får inte samma svar som facit på a) men vet inte vad jag gör för fel. Såhär har jag gjort:

med pythagoras sats fås att d(R)=(9+6R)^0.5

d´(R)=3/(9+6R)^0.5.

Facit säger (3+R)/(9+6R)^0.5

Du borde få d² = (h + R)² - R² = h² + 2hR. Om du deriverar båda led map h så får du

2dd’ = 2h + 2R, så

d’ = (h + R)/d = (h + R)/(h² +2hR)^1/2.

PATENTERAMERA skrev:

lamayo skrev:

får inte samma svar som facit på a) men vet inte vad jag gör för fel. Såhär har jag gjort:

med pythagoras sats fås att d(R)=(9+6R)^0.5

d´(R)=3/(9+6R)^0.5.

Facit säger (3+R)/(9+6R)^0.5

Du borde få d² = (h + R)² - R² = h² + 2hR. Om du deriverar båda led map h så får du

2dd’ = 2h + 2R, så

d’ = (h + R)/d = (h + R)/(h² +2hR)^1/2.

aha tack då blev det rätt på a) :)

Hur kan jag tänka på b)?

Borde man inte sätta derivatan lika med 0 då?

lamayo skrev:

Hur kan jag tänka på b)?

Borde man inte sätta derivatan lika med 0 då?

Nej, snarare till något stort. Alltså derivatans max!  Klurigt! 

ErikR skrev:

lamayo skrev:

Hur kan jag tänka på b)?

Borde man inte sätta derivatan lika med 0 då?

Nej, snarare till något stort. Alltså derivatans max!  Klurigt! 

det låter rimligt, kanske kolla andraderivatans nollställe?

Bra tänkt.

Vi vill ju hitta det värde på h (större än lika med 2) då $\frac{d\left(d\right)}{dt}$ = $\frac{d\left(d\right)}{dh}·\frac{dh}{dt}$ är som störst. Eftersom $\frac{dh}{dt}$ är konstant så är detta ekvivalent med att hitta det h$\ge$ 2 som ger det största värdet på $\frac{d\left(d\right)}{dh}$.

PATENTERAMERA skrev:

Bra tänkt.

Vi vill ju hitta det värde på h (större än lika med 2) då $\frac{d\left(d\right)}{dt}$ = $\frac{d\left(d\right)}{dh}·\frac{dh}{dt}$ är som störst. Eftersom $\frac{dh}{dt}$ är konstant så är detta ekvivalent med att hitta det h$\ge$ 2 som ger det största värdet på $\frac{d\left(d\right)}{dh}$.

använder kvotregeln och får R=0, men det går ju inte?

Nej, R är ju jordens radie. Man får nog förutsätta att den skall ses som en konstant i detta problem och att h är den enda egentliga variabeln.

Visa hur du räknar. Vad får du $\frac{d^2\left(d\right)}{d{h}^2}$ till? Vilka slutsatser kan man dra om $\frac{d\left(d\right)}{dh}$?

lamayo skrev:

Laguna skrev:

Var skulle den annars vara? Hur definierar du horisont?

har bara tyckt att horisonten är dit man kollar och inte kan se längre

När solen går ner vid horisonten så ser man den och den är rätt långt bortom horisonten.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, R är ju jordens radie. Man får nog förutsätta att den skall ses som en konstant i detta problem och att h är den enda egentliga variabeln.

Visa hur du räknar. Vad får du $\frac{d^2\left(d\right)}{d{h}^2}$ till? Vilka slutsatser kan man dra om $\frac{d\left(d\right)}{dh}$?

$kvotrege\ln => \frac{\sqrt{h^2+2hR}+(h+R)\times 0.5\times {(h2+2hR)}^{-1/2}(2h+2R)}{h^2+2hR}$, om det ska vara lika med 0 måste $\sqrt{h^2+2hR}+(h+R)\times 0.5\times {(h2+2hR)}^{-1/2}(2h+2R)=0$

$$\begin{gathered} \sqrt{h^2+2hR}+(h+R)\times 0.5\times {(h^2+2hR)}^{-1/2}(2h+2R)= \\ =\sqrt{h^2+2hR}+(h+R)\times 0.5\times \frac{1}{\sqrt{h^2+2hR}}(2h+2R)= \\ =\sqrt{h^2+2hR}+(0.5h+0.5R)\times \frac{h+R}{\sqrt{h^2+2hR}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sqrt{h^2+2hR}+(0.5h+0.5R)\times \frac{h+R}{\sqrt{h^2+2hR}}=0 => \\ {h}^2+2hR+(0.5h+0.5R)(h+R)=0 => h^2+2hR+0.5h^2+hR+0.5R^2=1.5h^2+3hR+0.5R^2=0 \end{gathered}$$

Oj, nu blev det helt annorlunda än förra gången, och fel igen

Lite svårt att följa med i berkäkningarna. Jag fick det till

$\frac{d^2\left(d\right)}{d{h}^2}=\frac{-R^2}{{\left(h^2+2hR\right)}^{3/2}}$.

Håller du med? I så fall, vad blir slutsatsen?

PATENTERAMERA skrev:

Lite svårt att följa med i berkäkningarna. Jag fick det till

$\frac{d^2\left(d\right)}{d{h}^2}=\frac{-R^2}{{\left(h^2+2hR\right)}^{3/2}}$.

Håller du med? I så fall, vad blir slutsatsen?

blir inte R=0 då när man sätter det lika med 0?

R är jordens radie. Vi har ingen möjlighet att påverka denna. Det är en konstant - som inte är noll.

Det betyder att $\frac{d^2\left(d\right)}{d{h}^2}$ alltid är mindre än noll. Vad betyder det för problemet att maximera $\frac{d\left(d\right)}{dh}$ för h $\ge$ 2?

PATENTERAMERA skrev:

R är jordens radie. Vi har ingen möjlighet att påverka denna. Det är en konstant - som inte är noll.

Det betyder att $\frac{d^2\left(d\right)}{d{h}^2}$ alltid är mindre än noll. Vad betyder det för problemet att maximera $\frac{d\left(d\right)}{dh}$ för h $\ge$ 2?

det finns en maximipunkt?

Ja, det finns en maxpunkt. Eftersom andraderivatan är negativ så betyder det att förstaderivatan är en avtagande funktion. Så maxvärdet antas vid det minsta möjliga värdet på h, dvs i vårt fall för h = 2 km.

Vi har att $\frac{d\left(d\right)}{dh}=\frac{h+R}{\sqrt{h^2+2hR}}=\frac{1+h/R}{\sqrt{{\left(h/R\right)}^2+2h/R}}=\left\{sätt h/R=x\right\}=\frac{1+x}{\sqrt{x^2+2x}}$.

Du kan skissa y = $\frac{1+x}{\sqrt{x^2+2x}}$ med något grafritande program.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, det finns en maxpunkt. Eftersom andraderivatan är negativ så betyder det att förstaderivatan är en avtagande funktion. Så maxvärdet antas vid det minsta möjliga värdet på h, dvs i vårt fall för h = 2 km.

Vi har att $\frac{d\left(d\right)}{dh}=\frac{h+R}{\sqrt{h^2+2hR}}=\frac{1+h/R}{\sqrt{{\left(h/R\right)}^2+2h/R}}=\left\{sätt h/R=x\right\}=\frac{1+x}{\sqrt{x^2+2x}}$.

Du kan skissa y = $\frac{1+x}{\sqrt{x^2+2x}}$ med något grafritande program.

Är lite osäker på varför avtagande av första derivatan leder till att maxvärdet antas i minsta möjliga värdet på h, varför är det så?

Att derivatan d’ är (strikt) avtagande betyder ju, per definition, att

d’(h₂) < d’(h₁) om h₂ > h₁.

Således har vi att d’(h) < d’(2) om h > 2.

Således

$\underset{h\ge 2}{max} d\text{'}\left(h\right)$ = d’(2).

PATENTERAMERA skrev:

Att derivatan d’ är (strikt) avtagande betyder ju, per definition, att

d’(h₂) < d’(h₁) om h₂ > h₁.

Således har vi att d’(h) < d’(2) om h > 2.

Således

$\underset{h\ge 2}{max} d\text{'}\left(h\right)$ = d’(2).

jaha, tack så jättemkt! nu fattar jag :D