LU-faktorisering av rektangulär (m×n) matris

Jag försöker just nu faktorisera en matris $A$ genom att skriva den som produkten av en nedre triangulär matris $L$ och en övre triangulär matris $U$ : $A = LU$ . Jag har dock fastnat på följande problem:

$A=\begin{bmatrix}1&2&3&1&2\ 1&4&2&3&1\ 2&2&-1&1&1\end{bmatrix}$

Jag har försökt att subtrahera första raden från andra och tredje rader, för att erhålla:

$\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 1 & 2 \0 & 2 & -1 & 2 & -1 \0 & -2 & -7 & -1 & -3\end{array}\right]$

Därefter bytte jag plats på den andra och tredje raden, vilket gav:

$\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 1 & 2 \0 & -2 & -7 & -1 & -3 \0 & 2 & -1 & 2 & -1\end{array}\right]$

Sedan subtraherade jag den andra raden från den tredje raden, vilket gav:

$\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 1 & 2 \0 & -2 & -7 & -1 & -3 \0 & 0 & 6 & 3 & 2\end{array}\right]$

Här fastnade jag och kunde inte fortsätta. Jag skulle verkligen uppskatta all hjälp och vägledning jag kan få för att fortsätta lösa detta problem. Tack på förhand!

Du är färdig. Edit: Ser nu att du gör fel i sista steget. Dubbelkolla vad du gjort så ser du det säkert.

Sedan fortsätt med nedan.

Gör en undertriangulär och verifiera att multiplikationen med den övertriangulära blir ursprungsmatrisen.

SaintVenant skrev:
Du är färdig. Edit: Ser nu att du gör fel i sista steget. Dubbelkolla vad du gjort så ser du det säkert.

Sedan fortsätt med nedan.

Gör en undertriangulär och verifiera att multiplikationen med den övertriangulära blir ursprungsmatrisen.

Tack för svar. Jag fick veta senare att man inte får byta rader när man ska göra LU-faktorisering, enligt min bok:

Men det jag kom fram till slutligen är dessa:

Och jag vet inte om jag har gjort rätt. här. Vet inte hur man skulle kunna bekräfta med Wolfram Alpha då jag får detta:

Via

LUDecomposition[{{1,2,3,1,2},{1,4,2,3,1},{2,2,-1,1,1}}]

Du har gjort rätt om multiplikationen blir $A$ .

Det blir den inte i detta fall. Tänk på att $L$ ska agera på $U$ och göra dina radoperationer ogjorda för att få tillbaka $A$ .

Du har alltså gjort något fel när du tog fram $U$ . Du ska inte hålla på och dividera dina rader med någon faktor utan att bokföra det i din $L$ -matris. Visa dina steg.

Kolla här för lösningsförslag:

https://www.emathhelp.net/calculators/linear-algebra/lu-decomposition-calculator/?i=%5B%5B1%2C2%2C3%2C1%2C2%5D%2C%5B1%2C4%2C2%2C3%2C1%5D%2C%5B2%2C2%2C-1%2C1%2C1%5D%5D

SaintVenant skrev:
Du har gjort rätt om multiplikationen blir $A$ .

Det blir den inte i detta fall. Tänk på att $L$ ska agera på $U$ och göra dina radoperationer ogjorda för att få tillbaka $A$ .

Du har alltså gjort något fel när du tog fram $U$ . Du ska inte hålla på och dividera dina rader med någon faktor utan att bokföra det i din $L$ -matris. Visa dina steg.

Kolla här för lösningsförslag:

https://www.emathhelp.net/calculators/linear-algebra/lu-decomposition-calculator/?i=%5B%5B1%2C2%2C3%2C1%2C2%5D%2C%5B1%2C4%2C2%2C3%2C1%5D%2C%5B2%2C2%2C-1%2C1%2C1%5D%5D

Tack för länken, jag drog inspiration ifrån lösningen men jag vet inte om det går att förbättra. Jag bifogar bild längre ner.

Från vad jag har sett ska lösningen skrivas på följande sätt, är min uppfattning korrekt att varje steg i lösningen som bokförs till L-matrisen skrivs som inversen av de elementära matriserna, E₁, ..., E_p? Inte klart för mig hur man inverterar dessa eller hur man kommer fram till de. Enligt detta utdrag ur math stackexchange har de skrivit såhär, där diagonalen verkar ha bevarats men att man byter tecken på de siffror som läggs in i matriserna.

Och detta är ifrån s. 158 i boken Linear Algebra and Its Applications, 6:e utgåvan:

Och lösningen jag skrev. Något du skulle förbättra?

Svara

Visa senaste svar