lösningsrumsform

Funderat kring varför om man har ett ekvationssystem tex $(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} y 1 \\ 2 * y 1 - y 2 \\ - 5 * y 1 + y 2 + y 3 \\ - 2 * y 2 + y 3 \end{matrix})$

,där den första matrisen består av vektorer i U kan skrivas U= $\{(x \in P^{3} : \begin{array}{l} 5 * y 1 + y 2 + y 3 = 0 \\ - 2 * y 2 + y 3 = 0 \end{array}$ .

Borde man inte skriva in de andra ekvationerna som inte är 0 i vänsterledet för att få alla lösningar. Hur vet man att vektorn som uppfyller dessa tillhör U?

Jag tänkte att det kanske är för att de andra typ redan är bestämda och y vid nollraderna kan variera.

Tacksam för all hjälp!

Lösningarna är väl x1 till x4?

De två sista ekvationerna saknar dock x1 etc. och ger då två krav på y1 till y3 för att systemet ska vara lösbart.

Dr. G skrev:
Lösningarna är väl x1 till x4?
De två sista ekvationerna saknar dock x1 etc. och ger då två krav på y1 till y3 för att systemet ska vara lösbart.

Ja, varför behövs inte de två översta ekvationerna?

Hej!

Matrisekvationen som du ställs inför är $Ax = By$ där

$A=\begin{pmatrix}1&1&3&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ och $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-5&1&1\\0&-2&1\end{pmatrix}$

och

$x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ samt $y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}.$

Multiplicera ekvationen med $A^t$ från vänster för att få

$A^tAx=A^tBy.$

Studera de två matriserna $A^tA$ och $A^tB$ av typ $4\times 4$ respektive $4\times 3$ .

Albiki skrev:
Hej!
Matrisekvationen som du ställs inför är $Ax = By$ där
$A=\begin{pmatrix}1&1&3&0\\0&1&2&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ och $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-5&1&1\\0&-2&1\end{pmatrix}$
och
$x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ samt $y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}.$
Multiplicera ekvationen med $A^t$ från vänster för att få
$A^tAx=A^tBy.$
Studera de två matriserna $A^tA$ och $A^tB$ av typ $4\times 4$ respektive $4\times 3$ .

Hur menar du med att jag ska studera matriserna? Hur förklarar det varför U kan beskriver med bara de två ekvationerna?

Kom att tänka på nu att det kanske är för att när det inte är noll i vänsterledet så finns det oändligt många lösningar eftersom lambda 1,2 osv är i VL och det blir fler obekanta än när det är noll i VL, men vet inte om jag tänker rätt?

lamayo skrev:
Kom att tänka på nu att det kanske är för att när det inte är noll i vänsterledet så finns det oändligt många lösningar eftersom lambda 1,2 osv är i VL och det blir fler obekanta än när det är noll i VL, men vet inte om jag tänker rätt?

Tänker jag rätt och går det isåfall att visa eller finns det någon annan förklaring?

Svara

Visa senaste svar