Lösningen till tillståndsmodell - Hur tolka?

Hej!

Jag har lösningen till en tillståndsmodell (state-space)

$x (t) = e^{A t} x (0) + \int_{0}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d τ$

Jag vet vad $e^{A t}$ är(det är lösningen till systemet. $x (0)$ är begynnelsevärdet för systemet t.ex. stegsignal. $\int_{0}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d τ$ är implussignalen till systemet där B = insignalsmatrisen till systemet.

Men när det kommer till just impussignal. Vad är då $u (t)$ ? Kan någon ge ett exempel på vad u(t) kan vara? Är det u(t) en konstant för alla t t.ex $u (t) = 10 \forall t$ ? Sedan är det tiden t i integreringstid som avgör hur lång tid denna impussvar är applicerad på systemet? T.ex. ett hammarslag är inte t = 0 sekunder, utan kanske t = 0.13 sekunder.

Hur ska jag tolka? Jag vet hur man löser ut e^(At) och B.

Hej igen!

Ingen som vet hur man ska tolka detta?

u är insignalen till systemet.

Bubo skrev :
u är insignalen till systemet.

Det vet jag. Men om vi tar detta lite praktiskt.

Om jag har ett system t.ex. hängande fjäder-dämpare-massa system. Om jag släpper massan från en godtycklig höjd så kommer massan att åka ned, sedan upp, sedan ned, sedan upp och successivt oscillera ned tills systemet är i vila.

Då borde jag kunna uttrycka lösningen till systemets tillstånd över tid för: $x (t) = e^{A t} x (0) = e^{A t} \times [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$

Vid impussignal eller stegsignal från systemet i vila så borde jag uttrycka systemet som:

$x (t) = \int_{0}^{t} e^{A t} B u (τ) d τ$ , där $t$ bestämmer hur lång tid jag applicerar min insignal $u (τ)$ och $u (τ)$ kan exempelvis vara en konstant, oavsett om det är impulssignal eller stegsignal, då det är tiden $t$ som avgör hur konstant jag applicerar min insignal på systemet. Exempelvis så skulle ett impussignal vara ett hammarslag som är ett konstant värde(kraft), men kort tidsapplicering $t$ , och ett stegssignal skulle vara ett påslag av konstant värde(ström) till en elmotor med lång tidsapplicering $t$ ?

Har jag rätt?

Aha - jag läste din fråga lite slarvigt. Såvitt jag begriper vill du förstå "impuls"? En kort impuls, ungefär som ett hammarslag.

"Hammarslag" är en stor insignal under kort tid. Man tänker sig gärna det perfekta hammarslaget som en oändligt stor insignal under oändligt kort tid. Ändå vill man kunna integrera u(t) under denna oändligt korta tid.

Då finns det ingen normal funktion att använda, utan man måste hitta på en "funktion" med just de här egenskaperna.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Diracs_delta-funktion

Bubo skrev :
Aha - jag läste din fråga lite slarvigt. Såvitt jag begriper vill du förstå "impuls"? En kort impuls, ungefär som ett hammarslag.
"Hammarslag" är en stor insignal under kort tid. Man tänker sig gärna det perfekta hammarslaget som en oändligt stor insignal under oändligt kort tid. Ändå vill man kunna integrera u(t) under denna oändligt korta tid.
Då finns det ingen normal funktion att använda, utan man måste hitta på en "funktion" med just de här egenskaperna.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Diracs_delta-funktion

Så man kan säga att om insignalen u(t) är ett konstant värde för alla tider, så kommer integreringstiden avgöra om det är ett kort integreringstid(impulssignal) eller stort integreringstid(stegsignal) ?

Kan man tänka som jag gjorde i min näst sista inlägg?

Det beror på om tiden är "ungefär noll" eller inte.

I elektroniska kretsar kan några nanosekunder vara lång tid, inom astronomi händer det inte mycket på några miljoner år.

Bubo skrev :
Det beror på om tiden är "ungefär noll" eller inte.
I elektroniska kretsar kan några nanosekunder vara lång tid, inom astronomi händer det inte mycket på några miljoner år.

Jag tänker mer ett mekaniskt system t.ex. hammarslag eller konstant flöde över flera minuter.

Svara

Visa senaste svar