lösningar till trigonometrisk ekvationer

Om en ekvation med sinus har två lösningar

$x + 2 πn$ och $π - x + 2 πn$

men en ekvation med cosinus har lösningen $\pm x + 2 πn$

hur många lösningar kan man förvänta sig en ekvation med både sinus och cosinus har?

om man t.ex löser 3 cos 3x = sin x , lösningarna till ekvationen får man oavsett man räknar med arcsin eller arccos. Vad händer om vi har t.ex sinus eller cosinus i kvadrat? Kubik? etc

Varför kan man inte använda variabelersättning när man löser såna ekvationer?

Om vi vet en lösning till en trigonometrisk ekvation t.ex denna:

$4 \sin^{3} x + 6 = \sin x + 8 \cos^{2} x$

kan vi bestämma alla lösningar?

I ditt exempel på slutet kan du skriva om cos²x till 1-sin²x och sedan är det som att lösa en tredjegradsekvation där du har fått en rot: polynomdividera och sedan lös en andragradsekvation.

Det är en bra fråga du ställer, men jag tror man får begränsa typen av ekvationer för att ge ett tydligt svar. Nånting av typen $\sin(x) = \sin(\sqrt{2}x)$ har oändligt många lösningar utan att de är enkelt relaterade med en multipel av $\pi$ .

Tillägg: 8 feb 2022 22:06

Du kan leka lite själv i ett koordinatsystem med att se var två sinuskurvor kan skära varandra, där vardera sinuskurvan kan ha sin egen period, fas, amplitud och jämviktsläge.

Kvadrater av sinusfunktioner kan skrivas om till andra sinusfunktioner, men kuber och uppåt går inte att förenkla så, så det blir en svårare fråga.

Laguna skrev:
I ditt exempel på slutet kan du skriva om cos²x till 1-sin²x och sedan är det som att lösa en tredjegradsekvation där du har fått en rot: polynomdividera och sedan lös en andragradsekvation.

Det är en bra fråga du ställer, men jag tror man får begränsa typen av ekvationer för att ge ett tydligt svar. Nånting av typen $\sin(x) = \sin(\sqrt{2}x)$ har oändligt många lösningar utan att de är enkelt relaterade med en multipel av $\pi$ .

jag har aldrig använt polynomdivision för att lösa ekvationer inte minst trigonometriska ekvationer, hur skulle det se ut?

för att lösa den ekvationen använde jag som du beskrev trig ettan och fick följande ekvation

$4 \sin^{3} x + 8 \sin^{2} x - \sin x = 2$

jag vet inte riktigt om man får göra så men jag skrev om ekvationen så här sin x = a

$4 a ³ + 8 a ² - a = 2$ och den här ekvationen har lösningarna $x 1 = - 2 x 2 = \frac{- 1}{2} x 3 = \frac{1}{2}$

varav bara x2 och x3 är korrekta lösningar

eftersom det är arcsin jag räknar med får jag

$x 1 = \pm a r c \sin \frac{1}{2} + 2 πn x 2 = π - (\pm \arcsin \frac{1}{2}) + 2 πn$

eller inte?

men om jag hade räknat arccos då hade jag bara fått $a r c \cos \pm \frac{1}{2}$

hur vet jag vilka lösningar är korrekta? Alla verkar ju stämma?

---

om vi begränsar oss till 2 typer

1) ekvationer med en sinus och en cosinus

2) ekvationer med sinus och cosinus i kvadrat

Svara