Lösningar till ekvationssystem, linjär algebra

Hej,
ska lösa följande fråga;
"Betrakta ekvationssystemet
$\{\begin{cases} x + & a y + z = 1 \\ x + & y + a z = 1 \\ x + & 3 y + z = a \end{cases}$

Ange, för varje värde på parametern a, antal lösningar till ekvationssystemet. Ange
lösningarna i det/de fall då systemet har en lösning som inte är entydig."

Jag har kommit fram till detta;
$A = (\begin{matrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix})$

det A=(a-1)(a-3)

Här fastnar jag. I lösningsförslaget står det att om a=1

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}) \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}$ så får man sedan ut x=1-t, y=0, z=t.
Jag kan inte se hur man får fram just x=1-t, y=0, z=t. Hur ska jag göra för att komma fram till samma sak?

Genomför gaussjordanelimination på matrisen du får om a = 1. Vad händer? :)

Om a = 1 så är de tre ekvationerna $\{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 3 x + z = 1 \end{cases}$ eftersom den första och andra ekvationerna blir identiska. Lös ut x ur den övre ekvationen (x=1-y-z) och sätt in uttrycket i den nedre, så får du 1-y-z+3y+z=1 som kan förenklas till 2y=0, alltså måste y a värdet 0. Välj att sätta z=t och beräkna x=1-y-z=1-0-t=1-t.

EDIT: HL i översta ekvationen skall vara 1, inte 0.

om a=1 får jag
$(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}$

Jag tror jag förstår lösningen Smaragdalena skrev, men skulle gärna vilja förstå det med matrisen också.

Om man tar översta raden i matrisen, ska jag tänka att jag vill ha x ensam och gör därför;
$z = t x_{1} + 0 y_{1} + t_{1} = 1 x_{1} = 1 - t_{1}$

Genom att kolla på andra raden får jag;
$z = t 0 x_{2} + y_{2} + 0 t_{2} = 0 y_{2} = 0 - 0 t_{2} y_{2} = 0$

Svara

Visa senaste svar