Lösningar till ekvationen cos (2x) = sin (4x)

Du behöver kunna det som sägs i tipset. Om du använder det får du

cos(2x) = cos(pi/2 -4x)

.

Hur vill du gå vidare härifrån?

Hej!

Du vill finna alla reella tal $x$ som är sådana att

    $\displaystyle (1-2\sin 2x)\cdot \cos 2x = 0.$

(Här ska du känna igen att jag använt formeln för Sinus för dubbla vinkeln.) Sådana tal uppfyller ekvationen $\cos 2x=0$ eller ekvationen $\sin 2x=0,5$. 

Ture skrev:

Du behöver kunna det som sägs i tipset. Om du använder det får du

cos(2x) = cos(pi/2 -4x)

.

Hur vill du gå vidare härifrån?

Vad säger att sin (4x) = cos($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$-4x)?
Vad är relationen mellan sin(v) och sin(4x)? Det kan min ovisshet kring det som ställer till det för mig.

Ture skrev:

Du behöver kunna det som sägs i tipset. Om du använder det får du

cos(2x) = cos(pi/2 -4x)

.

Hur vill du gå vidare härifrån?

 Albikis väg fungerar nog också, men för att du inte ska bli helt förvirrad så spinner jag vidare på mitt förslag:

cos(2x) = cos(pi/2 -4x), 

Av ovanstående följer att

1.  2x = pi/2-4x +2npi  (Argumenten m åste vara lika så när som på en multipel av 2pi)

och att

2.   -2x = pi/2-4x +2npi (Eftersom cos(a) = cos(-a)

Ekv 1 ger efter förenkling 6x = pi/2 +2npi => x = pi/12 + (1/6)npi

Ekv 2 ger 2x = pi/2 +2npi => x = pi/4 +npi

Där n är ett godtyckligt heltal

Tar man alltså 4 från sin (4x) och ersätter med v i tipset sin(v) = cos ($\frac{\mathrm{\pi }}{2}-v)$?

axelb skrev:

Ture skrev:

Du behöver kunna det som sägs i tipset. Om du använder det får du

cos(2x) = cos(pi/2 -4x)

.

Hur vill du gå vidare härifrån?

Vad säger att sin (4x) = cos($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$-4x)?
Vad är relationen mellan sin(v) och sin(4x)? Det kan min ovisshet kring det som ställer till det för mig.

 Det gäller rent generellt att sin(v) = cos(pi/2 -v), Se i enhetscirkeln för att övertyga dig om att det stämmer.

byt sen ut v mot 4x så blir det sin(4x) = cos(pi/2 -4x)

Din ekvation ser ut så här cos(2x) = sin(4x) om vi i HL utnyttjar att sin(4x) = cos(pi/2 -4x)

så kan din ekvation skrivas cos(2x) = cos(pi/2 -4x)

Jag har kommit fram till följande. Verkar det vara korrekt?
Gäller det alltid att man adderar $2\mathrm{\pi n}$ eftersom $2\mathrm{\pi }$ är 180° och det då resulterar i samma y-värde?

$$\begin{gathered} \cos \left(2x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sin \left(4x\right) \\ \cos \left(2x\right)\hspace{0.17em}= \cos (\frac{\mathrm{\pi }}{2}-4x) \\ 2x =\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }}{2}-4x + 2\mathrm{\pi n} \\ 6x =\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }}{2} + 2\mathrm{\pi n} \\ {x}_1 =\hspace{0.17em}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{12}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi n} \\ {x}_2 =\hspace{0.17em}2x =\hspace{0.17em}- (\frac{\mathrm{\pi }}{2}-4x) + 2\mathrm{\pi n} =\hspace{0.17em}4\mathrm{x} - \frac{\mathrm{\pi }}{2} + 2\mathrm{\pi n} \\ -2\mathrm{x} =-\frac{\mathrm{\pi }}{2} + 2\mathrm{\pi n} \\ -\mathrm{x} = -\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \mathrm{\pi n} \\ \mathrm{x} = \frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{\pi n} \end{gathered}$$

Tre korrekt utförda uppgifter senare har jag enligt facit god koll på det här. Tack för hjälpen!

Men hur gör man för att lösa ut sin i en sån här ekvation?

Bestäm alla lösningar till ekvationen

${\sin }^2 v - \frac{3}{4} = 0$

axelb skrev:

Tre korrekt utförda uppgifter senare har jag enligt facit god koll på det här. Tack för hjälpen!

Men hur gör man för att lösa ut sin i en sån här ekvation?

Bestäm alla lösningar till ekvationen

${\sin }^2 v - \frac{3}{4} = 0$

 Gör en ny tråd för den frågan!

Ture skrev:

axelb skrev:

Tre korrekt utförda uppgifter senare har jag enligt facit god koll på det här. Tack för hjälpen!

Men hur gör man för att lösa ut sin i en sån här ekvation?

Visa föregående citat

Bestäm alla lösningar till ekvationen

${\sin }^2 v - \frac{3}{4} = 0$

 Gör en ny tråd för den frågan!

 Okej!

Gäller det alltid att man adderar 2πn eftersom 2π är 180° och det då resulterar i samma y-värde?

Nästan. 2π är 360°, d v s ett helt varv. Men använd dig av enhetscirkeln så att du inte tappar bort hälften av lösningarna!

Fick själv denna uppgiften när jag repeterade, men fattar inte riktigt hur man får fram resterande lösningar , 

$6x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+n2\mathrm{\pi }$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{12}+\frac{n\mathrm{\pi }}{3}$

Tyckte inte det framgick i min skalle hur man fick fram resten av lösningarna. 

När jag slängde in ekvationen i wolframalpha fick jag detta , så min ena lösning stämmer inte ens.

Edit : Det löste sig.