Lösning till ODE när vi bara kan hitta en egenevektor

Hej, förstår inte riktigt påståendet på bilden nedan. Vi beräknar egenvektorer och egenvärden till matrisen A och finner att vi bara har en egenvektor, v=(0,1)^T men sen står det att x(t) = e^(-t)v är en lösning till systemet. Det här har gäckat mig ett bra tag i kursen nu.

Som jag förstått det: Vi vet att en lösning till systemet Ax(t) = x'(t) är $e^{A t} x_{0}$

där x_0 är något initialt värde. När vi har en bas av egenvektorer {v_1, ..., v_N} kan vi skriva x_0 som en linjär kombination av dessa: $x_{0} = c_{1} v_{1} + . . . + c_{N} v_{N}$

När v är en egenvektor gäller också: $e^{A t} v = e^{λ t} v$

Därför blir en lösning till systemet Ax(t) = x'(t):

$x (t) = e^{A t} x_{0} = e^{A t} (c_{1} v_{1} + . . . + c_{N} v_{N}) = \sum_{k = 1}^{N} c_{k} e^{t λ_{k}} v_{k}$

Men den här lösningen bygger ju på att vi kan skriva x_0 som en linjär kombination av egenvektorerna till matisen A. Det kan vi inte nu, så då förstår jag inte riktigt hur man hanterar det rödmarkerade området. Så som jag förstår det bygger hela övergången och användandet av egenvektorer på att man kan skriva: $x_{0} = c_{1} v_{1} + . . . + c_{N} v_{N}$ .

Så varför kan man säga att: $x (t) = e^{- t} v$ är en lösning till systemet?

Tack på förhand!

Edit (kom på svaret på min fråga men har en ny fråga):

Fattar att om $x (t) = e^{- t} v$ gäller: $x' (t) = [\begin{matrix} 0 \\ - e^{- t} \end{matrix}]$ och: $[\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ e^{t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ - e^{- t} \end{matrix}]$

Så det är ju en lösning... Hakade mest upp mig på omskrivningen och hade svårt att tänka bort ett initial value. Min fråga är istället, anta v är en egenvektor till A då har vi generellt att:

$x (t) = e^{λ t} v = e^{A t} v,$ så : $x' (t) = A e^{A t} v = A e^{λ t} v = A x (t)$ ?

Svara