Lösning graf & värdemängder

Ser inte att något av alternativen stämmer. Är det några fler alternativ?

Kommer du ihåg definitionen av vad en funktion är?

Lite slarvigt uttryck, så är det så att...

Om y är en funktion av x, så gäller (för de x som funktionen är definierad för) att till varje x-värde hör ETT y-värde.

Jo A stämmer enligt facit. 

såhär tänkte jag gällande A

Maddefoppa skrev:

Jo A stämmer enligt facit. 

Jaha, jag ser nu det, trodde först att grafen tillhörde uppgiften, men så var det inte!

Så här resonerar jag för B 

B uppfyller ej kraven❌

x²+y2=1

y2=1-x²

y=√1-x²

y=h(x)

h(x)=√1-x²

Punktmängd:m h(x): kommer kunna anta √ tal vilket på y värden vilket INTE f(x) kan, dvs b stämmer inte

Och för se resonerar jag

x+y²=0

y2=x

y=√x

k(x)=√x

Punktmängd:k(x) gäller att då x (definitionsmängden) är reella tal kommer värdemängden (vf) anta reella tal som EJ är heltal. f(x) värdemängd innehåller enbart realla heltal dvs Vf k(x) ≠Vf f(x)

men vetvinte om man kan tänka så:)

Maddefoppa skrev:

men vetvinte om man kan tänka så:)

Du har rätt svar på B, men jag förstår inte ditt resonemang där:

h(x) är inte en punktmängd (x, y), däremot är (x, h(x)) en sådan, bestående av alla de punkter (x, y) som uppfyller sambandet $x^2+y^2=1$.

Kan du förklara med andra ord vad du menar med

Punktmängd:m h(x): kommer kunna anta √ tal vilket på y värden vilket INTE f(x) kan ...

T.ex. Vad är detta f(x) du jämför med?

========

Du har inte skrivit något svar på C, men samma kommentar gäller där, att k(x) inte är en punktmängd (x, y), att det är svårt att förstå vad du menar med resonemanget och att det inte framgår vad vf och f(x) är.

Och huruvida någon värdemängd innehåller heltal eller inte är inte relevant.

=============

Förslag på alternativt resonemang:

Skissa respektive punktmängd (x, y), dvs respektive graf till sambanden mellan x och y.

Tänk dig nu vertikala linjer över grafen (använd gärna en linjal). Om någon sådan vertikal linje skär grafen på mer än ett ställe så motsvarar grafen inte en funktion av x.

Detta ör samma resonemang som Bubos svar #3.

Jo jag menar att jag h(x) är funktionen dvs istället för y säger jag h(x) för tycker det är enklare att förstå då än om man säger y. 

Menar att funktionen h(x) kommer kunna anta värden som ej tillhör heltalen för sin vf:)

f(x)= funktionen i uppgiften som man ska avgöra.

vf= värdemängden dvs värdet som f(x), k(x) osv kan anta.

För k(x) menar jag att eftersom x värderna ska vara heltal kommer det ex bli √2 men √2  kan inte antas av f(x). 

Maddefoppa skrev:

För k(x) menar jag att eftersom x värderna ska vara heltal kommer det ex bli √2 men √2  kan inte antas av f(x). 

Håller du på med en annan uppgift än den du började på nu? För alla tre punktmängderna i ditt förstainlägg handlade det om par av reella tal, så varifrån kommer heltalen?

För b menar jag alltså att h(x) är funktionen . Precis som de vill att man ska jämföra med funktionen f(x). 

h(x): punktmängd dvs (x,y) värden kommer kunna anta y värden (målmängd) som är ICKE realla. Ex om x= 2 dvs h(2). Då blir det

• h(2)=√1-2 ²=√−3 dvs punkmängden för h(x) blir då: (x,y)= (2,√3i)

För c menar jag att k(x)= √x om x=2 får vi … k(2)=√2 dvs punkmängden för k(x) blir då (x,y)=(2,√2) men den ingår INTE i f(x)=y punktmängd.

När f(x) har x=2 blir y=3. Dvs (2,3)

Eller vänta tror bilden på f(x) är fel. Den ska ju vara ett snepp nedåt annars visas ju f(x)= y+1 på min bild. Vilken miss, förlåt. 

Om man ritar en lodrät linje, vilken som helst, så skär denna linje den gröna linjen på ett enda ställe, alltså motsvarar den gröna linjen (a-uppgiften) en funktion f(x).

För både den lila och den svarta kurvan finns det lodräta linjer som skär kurvan på mer än ett ställe, så varken b-uppgiften (lila cirkel) eller c-uppgiften (svart parabel) är funktioner av x.

Lodrätt ➡️  åt det hållet dvs i x-axeln? 
men hur menar du att den skär vad? Den gröna är allstå funktionen i A. Men vad är det andra som ska skära? Förstår inte riktigt?

Oki för den lilla och svarta förstår jag:) Skär fler gånger= ej samma punktmängd:)

Den lilla skär ju 2 gånger men den svarta skär väl endast en gång?

Om du ritar en lodrät linje t ex x = -2...

Vänta är f(x)=y endast y axeln? 

f(x) = y kan vara vilken funktion som helst som beror på x. Y-axeln är inte en funktion av x, eftersom den har oändligt många värden för f(0).

Det verkar som om du behäver repetera vad en funktion är, så läs här.

Det verkar som om det är begreppen lodrät (= vertikal) och vågrät (= horisontell) som förvirrar.

Se bild, jag har ritat

• en lodrät linje i rött. Den linjen har ekvationen x = 2, vilket betyder att alla punkter på den linjen har x-koordinaten 2.
• en vågrät linje i blått. Den linjen har ekvationen y = 3, vilket betyder att alla punkter på den linjen har y-koordinaten 3.

Tack så himla mycket yngve för den tydliga bilden. 

Så punkmänden för den vågräta  i exemplet blir alltid (x,3) där x variara.?

medans för den lodröta i exemplet punkmängden (y,2) där y varierar men x är konstant?

Smaragdalena Det var den jag hämta bilden för f(x) för.

Maddefoppa skrev:

Tack så himla mycket yngve för den tydliga bilden. 

Så punkmänden för den vågräta  i exemplet blir alltid (x,3) där x variara.?

Ja, den punktmängden kan beskrivas som (x, 3).

medans för den lodröta i exemplet punkmängden (y,2) där y varierar men x är konstant?

Nästan. Den punktmängden kan beskrivas som (2, y).

Ja just det x skrivs ju alltid innan:)

Tack yngve:)

Gällande mitt resonmang för vf för de olika fallen tänker jag rätt eller fel? Eller hur ska man resonera utifrån värdemängden för de olika?

När du skrev 

Skissa respektive punktmängd (x, y), dvs respektive graf till sambanden mellan x och y.

Tänk dig nu vertikala linjer över grafen (använd gärna en linjal). Om någon sådan vertikal linje skär grafen på mer än ett ställe så motsvarar grafen inte en funktion av x.
hur menade du då?

Det som jag menade förut med b & c är att jag säger att de är genrella funktioner. (h & k) 

 punkmängden för h(x) funktionen kan då skrivas som:( x,y) där y kommer kunna vara ett rationellt tal som EJ är ett heltal. 

punktmängden för k(x) (x,y) där x kommer kunna vara ett rationellt tal som EJ är ett heltal. 

Tänker jag rätt? 

Maddefoppa skrev:

När du skrev 

Skissa respektive punktmängd (x, y), dvs respektive graf till sambanden mellan x och y.

Tänk dig nu vertikala linjer över grafen (använd gärna en linjal). Om någon sådan vertikal linje skär grafen på mer än ett ställe så motsvarar grafen inte en funktion av x.
hur menade du då?

Exempel:

I bilden nedan har jag ritat grafen (dvs punktmängden) som motsvarar sambandet $x^2+y^2=1$.

Nu ritar jag in en vertikal (dvs lodrät) linje vid x = 0,5.

Som du ser så skär denna linje punktmängden vid två punkter.

Alltså motsvarar grafen till $x^2+y^2=1$ inte $y$ som någon funktion av $x$.

Maddefoppa skrev:

Det som jag menade förut med b & c är att jag säger att de är genrella funktioner. (h & k) 

 punkmängden för h(x) funktionen kan då skrivas som:( x,y) där y kommer kunna vara ett rationellt tal som EJ är ett heltal. 

punktmängden för k(x) (x,y) där x kommer kunna vara ett rationellt tal som EJ är ett heltal. 

Tänker jag rätt? 

Nej, det är inte rätt.

Om $x$ är/kan vara/inte kan vara ett rationellt tal eller ett heltal har inget med saken att göra.

Däremot har följande resonemang i högsta grad med saken att göra:

• Om punktmängden som motsvarar sambandet $x^2+y^2=1$ skärs på mer än ett ställe av en vertikal linje $x=a$ för något värde pä a så utgör inte denna punktmängd grafen till en funktion $y=f(x)$. Jag har visat detta i svar #37.
• Om punktmängden som motsvarar sambandet $x+y^2=0$ skärs på mer än ett ställe av en vertikal linje $x=a$ för något värde pä $a$ så utgör inte denna punktmängd grafen till en funktion $y=f(x)$. Försök att visa detta på samma sätt som jag gjorde I svar #37.

Ett annat sätt att uttrycka samma sak:

Ifall du vet vad x är,  kan du då vara helt säker på vad y är?

Det kan du ju inte t.ex. i sambandet 

y² = 1 - x²

Men gud vad dum jag är:) Det är ju enhetscirkelns ekvaktion:) Att jag inte tänkte på det!

Så om punktmängden för två funktioner sammanfaller gäller det rent grafiskt att det enbart skär varandra 1 gång?

Maddefoppa skrev:

 

Men gud vad dum jag är:) Det är ju enhetscirkelns ekvaktion:) Att jag inte tänkte på det!

Du är inte dum!

Det händer oss alla att vi ibland inte ser det som i efterskott känns som självklart.

Så om punktmängden för två funktioner sammanfaller gäller det rent grafiskt att det enbart skär varandra 1 gång?

Det beror på hur många punkter som är gemensamma i de båda punktmängderna.

=============

Om de endast har en gemensam punkt så skär graferna varandra endast en gång.

Exempel: Punktmängderna (x, 2x-1) och (x, 3) har endast punkten (2, 3) gemensam. Rita!

=======

Om de har två gemensamma punkter så skär graferna varandra två gånger

Exempel: Punktmängderna (x,x²) och (x, 4) har de två punkterna (-2, 4) och (2, 4) gemensamma. Rita!

=========

Och så vidare ...

För A tänker jag så har nu efterhand. 

x+y=1

y=1-x

y= f(x)

f(x)=1-x

x=tillhör ℝ 

Räta linjens ekvation: y=kx+m

f(x)=-1 x+1

• m=1

• k=-1

Skär vågrät linje enbart & max 1 gång= bijektiv funktion.

Vet inte om hag resonerar rätt?

För punktmängden gäller att : Punkmängd: f(x) är de realla tal som uppfyller kravet x+y=1

Hej. Du har rätt I att f(x) = 1-x är en bijektiv funktion.

Men ursprungsfrågan gällde ju bara huruvida det var en funktion över huvud taget:

Vilka av följande mängder av punkter (x,y) utgör grafen till en funktion y = f(x)? Varför?

A)Alla par (x,y) av reella tal(ℝ) som uppfyller: x+y=1

Svaret är alltså ja, men det är inte på grund av hur ofta vågräta linjer skär punktmängden utan istället på grund av att alla möjliga lodräta linjer endast skär punktmängden på max ett ställe.

Maddefoppa skrev:

För punktmängden gäller att : Punkmängd: f(x) är de realla tal som uppfyller kravet x+y=1

Nej, punktmängden utgörs av alla de reella tal (x, y) som uppfyller sambandet x+y = 1.

Ja precis det som jag skrev:)

punktmängden för f(x)

Så här resonerar jag för c. 

x²+y2=1

y2=1-x²

y=±√1-x²

För varje x- värde finns MER än 1 y värde dvs..y är inte en funktion av x då det finns MER än 1 tillhörande y värde för ett bestämt x-värde. Kravet för en funktion f(x)=y. Uppfylls EJ dvs det hör inte ENBART 1 y värde till 1 x värde.

Ex. x=√1/2 dvs f(√1/2) kan både y vara=-√1/2 & +√1/2. Dvs för 1 x värde finns INTE 1 bestämt Y-värde

men har fortfarande inte riktigt förstått c.

ovan menar jag att jag resonerar så här för B

blir det för c att funktionen istället skulle kunna ytryckas som en funktion av x men INTE y dvs f(y)=x istället som de vill ha f(x)=y. dvs den är ”omvänd?”

Maddefoppa skrev:

Ja precis det som jag skrev:)

Nej, det var inte så du skrev.

Maddefoppa skrev:

blir det för c att funktionen istället skulle kunna ytryckas som en funktion av x men INTE y dvs f(y)=x istället som de vill ha f(x)=y. dvs den är ”omvänd?”

Ja, om vi skriver att x = f(y), där f(y) = -y² så stämmer det att vi kan uttrycka x som en funktion av y.

Det stämmer även att vi inte kan uttrycka y som en funktion av x.

Oki så för A blir det istället att JA men pga av att den skär en lodrät linje 1 gång & inte med motivering utifrån skärning av en gång rätt?

Jag undrar nu om jag resonerar rätt för A & B.

A: uppfyller kraven✅

x+y=1

y=1-x

y= f(x)

f(x)=1-x

x=tillhör ℝ 

Räta linjens ekvation: y=kx+m

f(x)=-1 x+1

• m=1

• k=-1

Skär vågrät➡️ linje enbart & max 1 gång= bijektiv

Punktmängd: utgörs av alla de reella tal (x, y) som uppfyller sambandet x+y = 1.

ALLA lodrätt linjer⬆️: skär enbart punk mängden MAX på 1 plats, vilket innebär att det man uttrycka funktionen som f(x)=y.

För B…

x²+y2=1

y2=1-x²

y=±√1-x²

För varje x- värde finns MER än 1 y värde dvs..y är inte en funktion av x då det finns MER än 1 tillhörande y värde för ett bestämt x-värde. Kravet för en funktion f(x)=y. Uppfylls EJ dvs det hör inte ENBART 1 y värde till 1 x värde.

Ex. x=√1/2 dvs f(√1/2) kan både y vara=-√1/2 & +√1/2.

ALLA lodrätt linjer⬆️: skär MER än 1 gång , vilket innebär att man INTE kan  uttrycka det som en funktion av y dvs som f(x)=y.

För C undrar jag lite.. om det då stämmer att

x+y2=0

x=-y²

f(y)=-y²

Punktmängd:Skulle kunna uttryckas som par av (y,x) men ej som (x,y). Blir detta som en invers då? Men hur ska man tänka gällande skärningar?

Maddefoppa skrev:

Jag undrar nu om jag resonerar rätt för A & B.

A: uppfyller kraven✅

Ja, det stämmer, se nedan

x+y=1

y=1-x

y= f(x)

f(x)=1-x

x=tillhör ℝ 

Ja, det är rätt

Räta linjens ekvation: y=kx+m

f(x)=-1 x+1

• m=1

• k=-1

Ovanstående (om räta linjens ekvation) är onödig information

Skär vågrät➡️ linje enbart & max 1 gång= bijektiv

Ovanstående är onödig information eftersom antal skärningspunkter med vågräta linjer inte har något alls att göra med huruvida sambandet går att uttrycka som en funktion eller inte.

Exempelvis så är f(x) = x2 en funktion av x.

ALLA lodrätt linjer⬆️: skär enbart punk mängden MAX på 1 plats, vilket innebär att det man uttrycka funktionen som f(x)=y.

Ja, detta är mer relevant, men det är bättre att uttrycka sig på följande sätt:

"Varje lodrät linje x = a i definitionsmängden $\mathbb{R}$ har maximalt en punkt gemensam med den punktmängd (x, y) som uppfyller x+y = 1.

Därför utgör denna punktmängd grafen till en funktion, nämligen f(x) = 1-x."

Maddefoppa skrev:

För B…

x²+y2=1

y2=1-x²

y=±√1-x²

Ja, det stämmer

För varje x- värde finns MER än 1 y värde dvs..y är inte en funktion av x då det finns MER än 1 tillhörande y värde för ett bestämt x-värde. Kravet för en funktion f(x)=y. Uppfylls EJ dvs det hör inte ENBART 1 y värde till 1 x värde.

Du tänker rätt, men det stämmer inte att det för varje x-värde finns mer än ett y-värde. Det finns nämligen två lodräta linjer som endast har en gemensam punkt med den givna punktmängden, nämligen x = -1 och x = 1.

Men det räcker att visa att det finns åtminstone en lodrät linje som har mer än en punkt gemensam med den givna punktmängden (t.ex. x = 0 som har punkterna (0, 1) och (0, -1) gemensamma med punktmängden).

Ex. x=√1/2 dvs f(√1/2) kan både y vara=-√1/2 & +√1/2.

ALLA lodrätt linjer⬆️: skär MER än 1 gång , vilket innebär att man INTE kan  uttrycka det som en funktion av y dvs som f(x)=y.

Se ovan, den gäller inte alla lodräta linjer.

Maddefoppa skrev:

För C undrar jag lite.. om det då stämmer att

x+y2=0

x=-y²

f(y)=-y²

Det stämmer

Punktmängd:Skulle kunna uttryckas som par av (y,x) men ej som (x,y).

Nej ordningen mellan variablerna har inget att göra med funktionsbegreppet utan används istället för att indikera vilket värde som sätts av på den horisontella respektive den vertikala axeln: (3, 5) betyder den punkt som har den horisontella koordinaten 3 och den vertikala koordinaten 5. För punkten (5, 3) är det tvärtom.

Blir detta som en invers då? Men hur ska man tänka gällande skärningar?

Rita punktmängden (x, y) (som uppfyller sambandet x+y² = 0 i ett koordinatsystem.

Se om du kan hitta någon vertikal linje x = a som har mer än en punkt gemensam med denna punktmängd.

I så fall har du visat att punktmängden inte är grafen till någon funktion y = f(x).

Om du istället kan visa att antalet gemensamma punkter är mindre än två så har du visat att punktmängden är grafen till en funktion y = f(x).